(24 ) int (cos )^3xdx

考查要点：本题主要考查三角函数的积分技巧，特别是利用换元法和三角恒等式简化被积函数的能力。

解题核心思路：
将$\cos^3 x$拆分为$\cos^2 x \cdot \cos x$，利用三角恒等式$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$，再通过换元法（令$u = \sin x$）将积分转化为关于$u$的多项式积分，最后代回原变量即可。

破题关键点：

1. 拆分被积函数：将$\cos^3 x$拆分为$\cos^2 x \cdot \cos x$，为换元创造条件。
2. 选择合适换元：令$u = \sin x$，则$du = \cos x dx$，将积分变量转换为$u$。
3. 简化积分表达式：利用$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$，将积分转化为$\int (1 - u^2) du$。

步骤1：拆分被积函数
将$\cos^3 x$拆分为$\cos^2 x \cdot \cos x$：
$\int \cos^3 x dx = \int \cos^2 x \cdot \cos x dx$

步骤2：换元法
令$u = \sin x$，则$du = \cos x dx$，即$\cos x dx = du$。此时积分变为：
$\int \cos^2 x \cdot \cos x dx = \int \cos^2 x \cdot du$

步骤3：应用三角恒等式
利用$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - u^2$，代入积分式：
$\int \cos^2 x \cdot du = \int (1 - u^2) du$

步骤4：积分计算
对多项式$1 - u^2$进行积分：
$\int (1 - u^2) du = \int 1 du - \int u^2 du = u - \frac{1}{3}u^3 + C$

步骤5：代回原变量
将$u = \sin x$代回，得到最终结果：
$\sin x - \frac{1}{3}\sin^3 x + C$