20.已知矩阵A的特征值为-1，4，则 A^-1 的特征值为（）.A. -1,(1)/(4)B. -1,4C. 1,-4D. 1,-(1)/(4)

本题考查矩阵特征值的性质，解题思路是利用矩阵特征值与逆矩阵特征值之间的关系来求解。

设矩阵$A$是一个$n$阶方阵，$\lambda$是矩阵$A$的特征值，$\boldsymbol{x}$是对应的特征向量，则有$A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$，其中$\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}$。
因为$A$可逆，在等式$A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$两边同时左乘$A^{-1}$，可得：
$A^{-1}A\boldsymbol{x}=A^{-1}\lambda\boldsymbol{x}$
根据逆矩阵的性质$A^{-1}A = E$（$E$为单位矩阵），则上式可化为：
$E\boldsymbol{x}=A^{-1}\lambda\boldsymbol{x}$
即$\boldsymbol{x}=\lambda A^{-1}\boldsymbol{x}$。
由于$\lambda$是矩阵$A$的特征值，$A$可逆，则$\lambda\neq0$（若$\lambda = 0$，则$\vert A - 0E\vert=\vert A\vert = 0$，$A$不可逆），等式两边同时除以$\lambda$，得到：
$A^{-1}\boldsymbol{x}=\frac{1}{\lambda}\boldsymbol{x}$
这表明$\frac{1}{\lambda}$是矩阵$A^{-1}$的特征值。

已知矩阵$A$的特征值为$\lambda_1 = -1$，$\lambda_2 = 4$。
当$\lambda_1 = -1$时，$A^{-1}$对应的特征值为$\frac{1}{\lambda_1}=\frac{1}{-1}=-1$；
当$\lambda_2 = 4$时，$A^{-1}$对应的特征值为$\frac{1}{\lambda_2}=\frac{1}{4}$。