题目

设X_(1),X_(2),...,X_(n)是相互独立且服从相同分布的随机变量，若随机变量X_(1)服从参数为λ的泊松分布，λ>0，那么，记Y=(1)/(n)sum_(i=1)^nX_(i)，则lim_(ntoinfty)P(|Y-lambda|geq2sqrt(lambda))的值为（）.bigcirc 1/16bigcirc 15/16bigcirc 1bigcirc 0

设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是相互独立且服从相同分布的随机变量，若随机变量$X_{1}$服从参数为λ的泊松分布，λ>0，那么，记$Y=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$，则$\lim_{n\to\infty}P(|Y-\lambda|\geq2\sqrt{\lambda})$的值为（）. $\bigcirc$ 1/16 $\bigcirc$ 15/16 $\bigcirc$ 1 $\bigcirc$ 0

题目解答

答案

设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 独立同分布，且 $X_i$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布。则 $E(X_i) = \lambda$，$\text{Var}(X_i) = \lambda$。 记 $Y = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$，则 $E(Y) = \lambda$，$\text{Var}(Y) = \frac{\lambda}{n}$。 由中心极限定理，当 $n \to \infty$ 时，$Y$ 近似服从正态分布 $N(\lambda, \frac{\lambda}{n})$。 将 $Y$ 标准化得 $Z = \frac{Y - \lambda}{\sqrt{\frac{\lambda}{n}}}$，其中 $Z \sim N(0,1)$。 原式可化为： \[ \lim_{n \to \infty} P\left(|Y - \lambda| \geq 2\sqrt{\lambda}\right) = \lim_{n \to \infty} P\left(|Z| \geq 2\sqrt{n}\right) \] 当 $n \to \infty$ 时，$2\sqrt{n} \to \infty$，故 $P(|Z| \geq 2\sqrt{n}) \to 0$。 因此，所求极限为 $0$。 答案：$\boxed{0}$

解析

本题考查知识点为中心极限定理以及泊松分布的期望和方差性质。解题思路如下：

  1. 首先，根据泊松分布的性质，确定随机变量$X_i$的期望和方差。
  2. 然后，计算$Y = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$的期望和方差。
  3. 接着，利用中心极限定理，得出$Y$近似服从的正态分布。
  4. 再将$Y$标准化，得到标准正态分布变量$Z$。
  5. 最后，将原式转化为关于$Z$的概率表达式，并分析$n\to\infty$时该概率的极限值。

详细解答

  1. 计算$X_i$的期望和方差：
    已知随机变量$X_i$服从参数为$\lambda$的泊松分布，根据泊松分布的性质，可得$E(X_i)=\lambda$，$Var(X_i)=\lambda$。
  2. 计算$Y$的期望和方差：
    因为$Y = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$，根据期望和方差的性质：
    • 期望的性质$E(aX + bY)=aE(X)+bE(Y)$（$a,b$为常数），可得$E(Y)=E(\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i)=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}E(X_i)$。
      由于$E(X_i)=\lambda$，所以$E(Y)=\frac{1}{n}\cdot n\lambda=\lambda$。
    • 方差的性质$Var(aX)=a^2Var(X)$（$a$为常数），且$X_1,X_2,\cdots,X_n$相互独立，可得$Var(Y)=Var(\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i)=\frac{1}{n^2}\sum_{i = 1}^{n}Var(X_i)$。
      因为$Var(X_i)=\lambda$，所以$Var(Y)=\frac{1}{n^2}\cdot n\lambda=\frac{\lambda}{n}$。
  3. 根据中心极限定理确定$Y$的近似分布：
    由中心极限定理可知，当$n\to\infty$时，$Y$近似服从正态分布$N(\lambda,\frac{\lambda}{n})$。
  4. 将$Y$标准化：
    令$Z = \frac{Y - \lambda}{\sqrt{\frac{\lambda}{n}}}$，则$Z$近似服从标准正态分布$N(0,1)$。
  5. 转化原式并求极限：
    已知$\lim_{n\to\infty}P(|Y - \lambda|\geq2\sqrt{\lambda})$，将$Y - \lambda = Z\sqrt{\frac{\lambda}{n}}$代入可得：
    $\lim_{n\to\infty}P(|Y - \lambda|\geq2\sqrt{\lambda})=\lim_{n\to\infty}P\left(\left|Z\sqrt{\frac{\lambda}{n}}\right|\geq2\sqrt{\lambda}\right)$
    两边同时除以$\sqrt{\lambda}$，得到$\lim_{n\to\infty}P\left(|Z|\geq2\sqrt{n}\right)$。
    当$n\to\infty$时，$2\sqrt{n}\to\infty$，对于标准正态分布$Z\sim N(0,1)$，$P(|Z|\geq2\sqrt{n})\to0$。