题目
并且与平面 夹成角的平面是( )
并且与平面 
夹成
角的平面是( )
题目解答
答案
设平面为:
与平面 夹成角,
解出
,带入设的式子可得,
故选择
.
解析
步骤 1：设平面方程
设所求平面方程为：$5x+y-4z-5+a(x-y-2z-1)=0$，其中$a$为待定系数。将方程整理为：$(5+a)x+(1-a)y+(-4-2a)z+(-5-a)=0$。
步骤 2：计算平面夹角
已知所求平面与平面$x+2y+z-1=0$夹角为$60^\circ$，利用平面夹角公式计算：
$\cos {60}^{\circ }=\dfrac {|{A}_{1}{A}_{2}+{B}_{1}{B}_{2}+{C}_{1}{C}_{2}|}{\sqrt {{A}_{1}}^{2}+{{B}_{1}}^{2}}+{C}_{1}^{2}\sqrt {{A}_{2}}^{2}+{{B}_{2}}^{2}}+{C}_{2}^{2}}$
其中，${A}_{1}=5+a$，${B}_{1}=1-a$，${C}_{1}=-4-2a$，${A}_{2}=1$，${B}_{2}=2$，${C}_{2}=1$。代入公式计算得：
$\cos {60}^{\circ }=\dfrac {|(5+a)\cdot 1+(1-a)\cdot 2+(-4-2a)\cdot 1|}{\sqrt {(5+a)^{2}+(1-a)^{2}+(-4-2a)^{2}}\sqrt {1^{2}+2^{2}+1^{2}}}$
化简得：$\dfrac {1}{2}=\dfrac {|5+a+2-2a-4-2a|}{\sqrt {(5+a)^{2}+(1-a)^{2}+(-4-2a)^{2}}\sqrt {6}}$
进一步化简得：$\dfrac {1}{2}=\dfrac {|3-3a|}{\sqrt {(5+a)^{2}+(1-a)^{2}+(-4-2a)^{2}}\sqrt {6}}$
解得：$a=-3$。
步骤 3：代入求解
将$a=-3$代入所设平面方程，得：$2x+y-z-2=0$。同时，已知直线方程为$x-y-2z-1=0$。
设所求平面方程为：$5x+y-4z-5+a(x-y-2z-1)=0$，其中$a$为待定系数。将方程整理为：$(5+a)x+(1-a)y+(-4-2a)z+(-5-a)=0$。
步骤 2：计算平面夹角
已知所求平面与平面$x+2y+z-1=0$夹角为$60^\circ$，利用平面夹角公式计算：
$\cos {60}^{\circ }=\dfrac {|{A}_{1}{A}_{2}+{B}_{1}{B}_{2}+{C}_{1}{C}_{2}|}{\sqrt {{A}_{1}}^{2}+{{B}_{1}}^{2}}+{C}_{1}^{2}\sqrt {{A}_{2}}^{2}+{{B}_{2}}^{2}}+{C}_{2}^{2}}$
其中，${A}_{1}=5+a$，${B}_{1}=1-a$，${C}_{1}=-4-2a$，${A}_{2}=1$，${B}_{2}=2$，${C}_{2}=1$。代入公式计算得：
$\cos {60}^{\circ }=\dfrac {|(5+a)\cdot 1+(1-a)\cdot 2+(-4-2a)\cdot 1|}{\sqrt {(5+a)^{2}+(1-a)^{2}+(-4-2a)^{2}}\sqrt {1^{2}+2^{2}+1^{2}}}$
化简得：$\dfrac {1}{2}=\dfrac {|5+a+2-2a-4-2a|}{\sqrt {(5+a)^{2}+(1-a)^{2}+(-4-2a)^{2}}\sqrt {6}}$
进一步化简得：$\dfrac {1}{2}=\dfrac {|3-3a|}{\sqrt {(5+a)^{2}+(1-a)^{2}+(-4-2a)^{2}}\sqrt {6}}$
解得：$a=-3$。
步骤 3：代入求解
将$a=-3$代入所设平面方程，得：$2x+y-z-2=0$。同时，已知直线方程为$x-y-2z-1=0$。