质量为m的子弹，以水平速度v0射入置于光滑水平面上的质量为M的静止砂箱，子弹在砂箱中前进距离l后停在砂箱中，同时砂箱向前运动的距离为S，此后子弹与砂箱一起以共同速度匀速运动，则子弹受到的平均阻力^7= ；砂箱与子弹系统损失的机械能 E = 。（注意：此题第一问有多种解法，也有多种答案）

考查要点：本题主要考查动量守恒定律、动能定理的应用，以及机械能损失的计算。
解题核心思路：

1. 动量守恒：系统（子弹+砂箱）在水平方向不受外力，总动量守恒，可求出最终共同速度。
2. 动能定理：子弹的动能变化等于阻力做的功，需注意子弹实际运动的路程是砂箱移动距离$S$与内部滑动距离$l$之和。
3. 机械能损失：初始动能减去最终动能，等同于摩擦生热，但需注意生热与相对路程的关系。

破题关键点：

• 动量守恒确定共同速度$V$。
• 分对象应用动能定理：分别对子弹和砂箱列式，联立求解平均阻力$f$。
• 机械能损失直接通过动能差计算。

第（1）问：求平均阻力$f$

步骤1：动量守恒求共同速度

系统水平方向动量守恒，初动量为子弹的动量$mv_0$，最终共同速度为$V$，则：
$mv_0 = (m+M)V \implies V = \dfrac{mv_0}{m+M}$

步骤2：对子弹应用动能定理

子弹初动能为$\dfrac{1}{2}mv_0^2$，末动能为$\dfrac{1}{2}mV^2$，阻力$f$做功为$-f(S+l)$（路程为$S+l$），则：
$\dfrac{1}{2}m(v_0^2 - V^2) = f(S+l)$

步骤3：对砂箱应用动能定理

砂箱初动能为$0$，末动能为$\dfrac{1}{2}MV^2$，阻力$f$做功为$fS$（砂箱移动距离为$S$），则：
$\dfrac{1}{2}MV^2 = fS$

步骤4：联立方程求$f$

将$V = \dfrac{mv_0}{m+M}$代入两式，消去$V$后联立解得：
$f = \dfrac{mM(2m+M)v_0^2}{2(m+M)^2(S+l)}$

第（2）问：求机械能损失$\Delta E$

步骤1：计算初始动能

系统初始动能为子弹的动能：
$E_{\text{初}} = \dfrac{1}{2}mv_0^2$

步骤2：计算最终动能

最终动能为共同速度的动能：
$E_{\text{末}} = \dfrac{1}{2}(m+M)V^2 = \dfrac{1}{2}(m+M)\left(\dfrac{mv_0}{m+M}\right)^2 = \dfrac{m^2v_0^2}{2(m+M)}$

步骤3：求机械能损失

$\Delta E = E_{\text{初}} - E_{\text{末}} = \dfrac{1}{2}mv_0^2 - \dfrac{m^2v_0^2}{2(m+M)} = \dfrac{Mmv_0^2}{2(m+M)}$