题目
将函数 f(x)= ln(a+x)(a >0) 展开成 x 的幂级数，正确的是(）A. sum_(n=0)^infty(-1)^n((ax)^n)/(n), 0 B. sum_(n=0)^infty(-1)^n(1)/(n)((x)/(a))^n, -a C. ln a + sum_(n=0)^infty(-1)^n(1)/(n+1)((x)/(a))^n+1, -a D. ln a + sum_(n=0)^infty(-1)^n+1(1)/(n+1)(ax)^n+1, -a
将函数 $f(x)= \ln(a+x)(a >0)$ 展开成 $x$ 的幂级数，正确的是(）
A. $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(ax)^{n}}{n}$, $0 < x < a$
B. $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n}\left(\frac{x}{a}\right)^{n}$, $-a < x < 0$
C. $\ln a + \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n+1}\left(\frac{x}{a}\right)^{n+1}$, $-a < x \leq a$
D. $\ln a + \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n+1}(ax)^{n+1}$, $-a < x < a$
题目解答
答案
C. $\ln a + \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n+1}\left(\frac{x}{a}\right)^{n+1}$, $-a < x \leq a$
解析
步骤 1：利用已知的 $\ln(1 + u)$ 展开式
已知 $\ln(1 + u)$ 的幂级数展开式为： \[ \ln(1 + u) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{u^n}{n} \] 其中，$u$ 的取值范围为 $-1 < u \leq 1$。
步骤 2：代入 $u = \frac{x}{a}$
将 $u = \frac{x}{a}$ 代入上述展开式，得到： \[ \ln\left(1 + \frac{x}{a}\right) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{1}{n} \left(\frac{x}{a}\right)^n \] 其中，$-a < x \leq a$。
步骤 3：将 $f(x)$ 展开为 $x$ 的幂级数
将 $f(x) = \ln(a + x)$ 写为： \[ f(x) = \ln a + \ln\left(1 + \frac{x}{a}\right) \] 代入步骤 2 的结果，得到： \[ f(x) = \ln a + \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{1}{n} \left(\frac{x}{a}\right)^n \] 重排指数，得： \[ f(x) = \ln a + \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{1}{n+1} \left(\frac{x}{a}\right)^{n+1} \] 收敛域为 $-a < x \leq a$，对应选项 C。
已知 $\ln(1 + u)$ 的幂级数展开式为： \[ \ln(1 + u) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{u^n}{n} \] 其中，$u$ 的取值范围为 $-1 < u \leq 1$。
步骤 2：代入 $u = \frac{x}{a}$
将 $u = \frac{x}{a}$ 代入上述展开式，得到： \[ \ln\left(1 + \frac{x}{a}\right) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{1}{n} \left(\frac{x}{a}\right)^n \] 其中，$-a < x \leq a$。
步骤 3：将 $f(x)$ 展开为 $x$ 的幂级数
将 $f(x) = \ln(a + x)$ 写为： \[ f(x) = \ln a + \ln\left(1 + \frac{x}{a}\right) \] 代入步骤 2 的结果，得到： \[ f(x) = \ln a + \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{1}{n} \left(\frac{x}{a}\right)^n \] 重排指数，得： \[ f(x) = \ln a + \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{1}{n+1} \left(\frac{x}{a}\right)^{n+1} \] 收敛域为 $-a < x \leq a$，对应选项 C。