8.填空题已知alpha_(1)=[1,1,0]^T,alpha_(2)=[1,3,-1]^T,alpha_(3)=[5,3,t]^T, 则当t=____时，alpha_(1)、alpha_(2)、alpha_(3)线性相关

为了确定使得向量$\alpha_1 = [1, 1, 0]^T$, $\alpha_2 = [1, 3, -1]^T$, 和$\alpha_3 = [5, 3, t]^T$线性相关的$t$的值，我们需要找到使得这些向量构成的矩阵的行列式为零的$t$的值。向量线性相关当且仅当由这些向量构成的矩阵的行列式为零。 由向量$\alpha_1$, $\alpha_2$, 和$\alpha_3$构成的矩阵为： \[ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 5 \\ 1 & 3 & 3 \\ 0 & -1 & t \end{bmatrix} \] 我们需要计算矩阵$A$的行列式： \[ \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 5 \\ 1 & 3 & 3 \\ 0 & -1 & t \end{vmatrix} \] 我们可以沿第一行展开行列式： \[ \det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 3 \\ -1 & t \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & t \end{vmatrix} + 5 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} \] 现在，我们计算每个2x2行列式： \[ \begin{vmatrix} 3 & 3 \\ -1 & t \end{vmatrix} = 3t - (-3) = 3t + 3 \] \[ \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & t \end{vmatrix} = 1 \cdot t - 3 \cdot 0 = t \] \[ \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1) - 3 \cdot 0 = -1 \] 将这些值代回行列式表达式，我们得到： \[ \det(A) = 1 \cdot (3t + 3) - 1 \cdot t + 5 \cdot (-1) = 3t + 3 - t - 5 = 2t - 2 \] 为了使向量线性相关，行列式必须为零： \[ 2t - 2 = 0 \] 解$t$： \[ 2t = 2 \implies t = 1 \] 因此，使得$\alpha_1$, $\alpha_2$, 和$\alpha_3$线性相关的$t$的值是$\boxed{1}$。