题目
20.若L是xOy面上平行于y轴的直线段x=c,(a≤y≤b),则int_(L)f(x,y)ds=int_(a)^bf(c,y)dy.判断题(5分)A. 正确B. 错误
20.若L是xOy面上平行于y轴的直线段x=c,(a≤y≤b),则$\int_{L}f(x,y)ds=\int_{a}^{b}f(c,y)dy.$
判断题(5分)
A. 正确
B. 错误
题目解答
答案
A. 正确
解析
步骤 1：参数化直线段
将直线段 $L$ 参数化为 $x(t) = c$，$y(t) = t$，其中 $t \in [a, b]$。这意味着直线段 $L$ 上的点可以表示为 $(c, t)$，其中 $t$ 在区间 $[a, b]$ 内变化。
步骤 2：计算弧长元素
计算弧长元素 $ds$，它表示曲线上的微小长度。根据参数化，我们有 \[ ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt. \] 由于 $x(t) = c$ 是常数，所以 $\frac{dx}{dt} = 0$，而 $y(t) = t$，所以 $\frac{dy}{dt} = 1$。因此， \[ ds = \sqrt{0^2 + 1^2} \, dt = dt. \]
步骤 3：代入曲线积分公式
将 $ds = dt$ 代入曲线积分公式，得到 \[ \int_{L} f(x,y) \, ds = \int_{a}^{b} f(c, t) \, dt. \] 由于 $t$ 在区间 $[a, b]$ 内变化，我们可以将 $t$ 替换为 $y$，得到 \[ \int_{a}^{b} f(c, y) \, dy. \]
将直线段 $L$ 参数化为 $x(t) = c$，$y(t) = t$，其中 $t \in [a, b]$。这意味着直线段 $L$ 上的点可以表示为 $(c, t)$，其中 $t$ 在区间 $[a, b]$ 内变化。
步骤 2：计算弧长元素
计算弧长元素 $ds$，它表示曲线上的微小长度。根据参数化，我们有 \[ ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt. \] 由于 $x(t) = c$ 是常数，所以 $\frac{dx}{dt} = 0$，而 $y(t) = t$，所以 $\frac{dy}{dt} = 1$。因此， \[ ds = \sqrt{0^2 + 1^2} \, dt = dt. \]
步骤 3：代入曲线积分公式
将 $ds = dt$ 代入曲线积分公式，得到 \[ \int_{L} f(x,y) \, ds = \int_{a}^{b} f(c, t) \, dt. \] 由于 $t$ 在区间 $[a, b]$ 内变化，我们可以将 $t$ 替换为 $y$，得到 \[ \int_{a}^{b} f(c, y) \, dy. \]