44.设 (x)=f(x)(dfrac (1)({2)^x+1}-dfrac (1)(2)), 已知f(x)为奇函数,判断F(x)的奇偶性.

考查要点：本题主要考查函数奇偶性的判断，涉及奇函数与偶函数的运算性质。

解题核心思路：

1. 分解函数结构：将$F(x)$分解为$f(x)$与$\varphi(x)$的乘积，分别判断两部分的奇偶性。
2. 判断$\varphi(x)$的奇偶性：通过计算$\varphi(-x)$并与$\varphi(x)$比较，得出$\varphi(x)$为奇函数。
3. 应用奇偶函数乘积性质：奇函数（$f(x)$）与奇函数（$\varphi(x)$）相乘的结果为偶函数。

破题关键点：

• 正确化简$\varphi(-x)$，发现其等于$-\varphi(x)$，从而确定$\varphi(x)$为奇函数。
• 利用奇偶函数的运算性质直接得出结论，避免重复计算。

步骤1：判断$\varphi(x)$的奇偶性

设$\varphi(x) = \dfrac{1}{2^x + 1} - \dfrac{1}{2}$，计算$\varphi(-x)$：
$\begin{aligned}\varphi(-x) &= \dfrac{1}{2^{-x} + 1} - \dfrac{1}{2} \\&= \dfrac{2^x}{1 + 2^x} - \dfrac{1}{2} \\&= 1 - \dfrac{1}{1 + 2^x} - \dfrac{1}{2} \\&= \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{1 + 2^x} \\&= -\left( \dfrac{1}{1 + 2^x} - \dfrac{1}{2} \right) \\&= -\varphi(x).\end{aligned}$
因此，$\varphi(x)$是奇函数。

步骤2：分析$F(x)$的奇偶性

$F(x) = f(x) \cdot \varphi(x)$，其中$f(x)$为奇函数，$\varphi(x)$为奇函数。
根据奇偶函数的乘积性质：

• 奇函数 × 奇函数 = 偶函数。
  因此，$F(x)$为偶函数。