44.设 (x)=f(x)(dfrac (1)({2)^x+1}-dfrac (1)(2)), 已知f(x)为奇函数,判断F(x)的奇偶性.

步骤 1：定义辅助函数
设 $\varphi (x)=\dfrac {1}{{2}^{x}+1}-\dfrac {1}{2}$，我们首先需要判断 $\varphi (x)$ 的奇偶性。
步骤 2：计算 $\varphi (-x)$
计算 $\varphi (-x)$ 的值，即 $\varphi (-x)=\dfrac {1}{{2}^{-x}+1}-\dfrac {1}{2}$。
步骤 3：化简 $\varphi (-x)$
化简 $\varphi (-x)$，得到 $\varphi (-x)=\dfrac {{2}^{x}}{1+{2}^{x}}-\dfrac {1}{2}=\dfrac {{2}^{x}+1-1}{1+{2}^{x}}-\dfrac {1}{2}=-\dfrac {1}{1+{2}^{x}}+\dfrac {1}{2}=-\varphi (x)$。
步骤 4：判断 $\varphi (x)$ 的奇偶性
由于 $\varphi (-x)=-\varphi (x)$，所以 $\varphi (x)$ 是奇函数。
步骤 5：判断 $F(x)$ 的奇偶性
由于 $f(x)$ 是奇函数，且 $\varphi (x)$ 也是奇函数，那么 $F(-x)=f(-x)\cdot \varphi (-x)=-f(x)\cdot [-\varphi (x)]=f(x)\varphi (x)=F(x)$，所以 $F(x)$ 为偶函数。