题目

已知 3 阶矩阵 A 与三维向量 x, 使得向量组 x,Ax,A2x 线性无关 , 且满足 A3x=3Ax−2A2x. (1)记 P=(x,Ax,A2x), 求 3 阶矩阵 B, 使 A=PBP−1 ； (2)计算行列式 |A+E|.

已知 3 阶矩阵 A 与三维向量 x, 使得向量组 x,Ax,A2x 线性无关 , 且满足 A3x=3Ax−2A2x.

(1)记 P=(x,Ax,A2x), 求 3 阶矩阵 B, 使 A=PBP−1 ；

(2)计算行列式 |A+E|.

题目解答

答案

(1)

由于 AP=PB ，

即： A(x,Ax,A2x)=(Ax,A2x,A3x)=(Ax,A2x,3Ax−2A2x)=(x,Ax,A2x)⎡⎣⎢01000103−2⎤⎦⎥ ，

从而： AP=P⎡⎣⎢01000103−2⎤⎦⎥ ，

所以： B=⎡⎣⎢01000103−2⎤⎦⎥.


(2)由(1)知： A=PBP−1

∴A+E=PBP−1+PEP−1=P(B+E)P−1

∴|A+E|=|P(B+E)P−1|=|P|⋅|B+E|⋅|P−1|=|P|⋅|P−1|⋅|B+E|=|PP−1|⋅|B+E|=|B+E|

从而： |A+E|=|B+E|=⎛⎝⎜11001103−1⎞⎠⎟=−4.

解析

考查要点：本题主要考查矩阵相似变换及行列式的计算，涉及向量组线性无关性、矩阵的相似关系、特征值与特征向量的应用。

解题核心思路：

  1. 利用向量组线性无关性：由向量组$x, Ax, A^2x$线性无关，构造可逆矩阵$P$，将问题转化为矩阵相似变换。
  2. 矩阵方程的构造：通过$A^3x = 3Ax - 2A^2x$，建立$AP = PB$的关系，确定矩阵$B$的结构。
  3. 行列式的性质：利用相似矩阵的行列式性质，将$|A+E|$转化为$|B+E|$计算。

破题关键点：

  • 构造矩阵$P$：由线性无关的向量组构成，确保$P$可逆。
  • 矩阵方程分析：通过$AP = PB$，将$A$的作用转化为$B$对$P$列向量的操作，从而确定$B$的元素。
  • 行列式简化：利用相似变换的行列式性质，避免直接计算高阶行列式。

第（1）题

关键步骤：

  1. 构造矩阵$P$：由$x, Ax, A^2x$线性无关，得$P = (x, Ax, A^2x)$可逆。
  2. 分析$AP$的结构：
    • $A \cdot x = Ax$（对应$P$的第二列）。
    • $A \cdot Ax = A^2x$（对应$P$的第三列）。
    • $A \cdot A^2x = A^3x = 3Ax - 2A^2x$（由题设条件）。
  3. 建立矩阵方程：$AP = P \cdot B$，通过列向量线性组合确定$B$的元素：
    • 第一列：$Ax = 0 \cdot x + 1 \cdot Ax + 0 \cdot A^2x$，对应$B$第一列为$\begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix}$。
    • 第二列：$A^2x = 0 \cdot x + 0 \cdot Ax + 1 \cdot A^2x$，对应$B$第二列为$\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}$。
    • 第三列：$3Ax - 2A^2x = 0 \cdot x + 3 \cdot Ax - 2 \cdot A^2x$，对应$B$第三列为$\begin{bmatrix}0 \\ 3 \\ -2\end{bmatrix}$。
  4. 确定矩阵$B$：
    $B = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \end{bmatrix}$

第（2）题

关键步骤：

  1. 相似变换性质：由$A = PBP^{-1}$，得$A + E = P(B + E)P^{-1}$。
  2. 行列式性质：$|A + E| = |P(B + E)P^{-1}| = |B + E|$。
  3. 计算$|B + E|$：
    $B + E = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$
    展开行列式：
    $|B + E| = 1 \cdot \begin{vmatrix}1 & 3 \\ 1 & -1\end{vmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot (-1) - 3 \cdot 1) = -4$