题目

lim _(x arrow +infty) x(sqrt(9 x^2)+1-3 x).

$\lim _{x \rightarrow +\infty} x\left(\sqrt{9 x^{2}+1}-3 x\right)$.

题目解答

答案

我们要求极限：

$\lim_{x \to +\infty} x\left(\sqrt{9x^2 + 1} - 3x\right)$

第一步：分析极限形式

当 $ x \to +\infty $ 时：

  • $ \sqrt{9x^2 + 1} $ 近似于 $ \sqrt{9x^2} = 3x $，但略大于 $ 3x $
  • 所以 $ \sqrt{9x^2 + 1} - 3x \to 0 $
  • 但前面还有一个 $ x \to +\infty $，所以整体是 $ \infty \times 0 $ 型的不定式

我们需要将其化简，消除不定式。

第二步：使用有理化方法

我们对括号内的部分进行分子有理化，即乘以共轭：

$\sqrt{9x^2 + 1} - 3x = \frac{(\sqrt{9x^2 + 1} - 3x)(\sqrt{9x^2 + 1} + 3x)}{\sqrt{9x^2 + 1} + 3x}$

分子是平方差：

$= \frac{(9x^2 + 1) - (3x)^2}{\sqrt{9x^2 + 1} + 3x} = \frac{9x^2 + 1 - 9x^2}{\sqrt{9x^2 + 1} + 3x} = \frac{1}{\sqrt{9x^2 + 1} + 3x}$

所以原式变为：

$x\left(\sqrt{9x^2 + 1} - 3x\right) = x \cdot \frac{1}{\sqrt{9x^2 + 1} + 3x} = \frac{x}{\sqrt{9x^2 + 1} + 3x}$

第三步：化简分母

我们来分析分母 $ \sqrt{9x^2 + 1} + 3x $，当 $ x \to +\infty $ 时，主导项是 $ 3x $，但我们仍需精确处理。

提取 $ x $ 来化简：

先看 $ \sqrt{9x^2 + 1} $：

$\sqrt{9x^2 + 1} = x\sqrt{9 + \frac{1}{x^2}} \quad (\text{因为 } x > 0)$

所以分母为：

$\sqrt{9x^2 + 1} + 3x = x\sqrt{9 + \frac{1}{x^2}} + 3x = x\left(\sqrt{9 + \frac{1}{x^2}} + 3\right)$

于是整个表达式为：

$\frac{x}{x\left(\sqrt{9 + \frac{1}{x^2}} + 3\right)} = \frac{1}{\sqrt{9 + \frac{1}{x^2}} + 3}$

第四步：取极限

当 $ x \to +\infty $ 时，$ \frac{1}{x^2} \to 0 $，所以：

$\sqrt{9 + \frac{1}{x^2}} \to \sqrt{9} = 3$

因此：

$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{9 + \frac{1}{x^2}} + 3} = \frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6}$

最终答案：

$\boxed{\frac{1}{6}}$

解析

本题考查的是函数极限的计算，解题的关键在于处理 $\infty \times 0$ 型的不定式。我们通过分子有理化的方法将原式进行化简，然后再对化简后的式子求极限。

  1. 分析极限形式：
    • 当 $x \to +\infty$ 时，$\sqrt{9x^{2}+1}$ 近似于 $3x$ 且略大于 $3x$，所以 $\sqrt{9x^{2}+1}-3x \to 0$，而前面还有一个 $x \to +\infty$，那么原式 $\lim _{x \rightarrow +\infty} x\left(\sqrt{9 x^{2}+1}-3 x\right)$ 是 $\infty \times 0$ 型的不定式，需要进行化简。
  2. 使用有理化方法：
    • 对括号内的部分进行分子有理化，乘以其共轭式 $\sqrt{9x^{2}+1}+3x$，根据平方差公式 $(a - b)(a + b)=a^{2}-b^{2}$，有：
      • $\sqrt{9x^{2}+1}-3x=\frac{(\sqrt{9x^{2}+1}-3x)(\sqrt{9x^{2}+1}+3x)}{\sqrt{9x^{2}+1}+3x}=\frac{(9x^{2}+1)-(3x)^{2}}{\sqrt{9x^{2}+1}+3x}$。
      • 进一步计算分子：$(9x^{2}+1)-(3x)^{2}=9x^{2}+1 - 9x^{2}=1$，所以 $\sqrt{9x^{2}+1}-3x=\frac{1}{\sqrt{9x^{2}+1}+3x}$。
      • 则原式变为 $x\left(\sqrt{9x^{2}+1}-3x\right)=x\cdot\frac{1}{\sqrt{9x^{2}+1}+3x}=\frac{x}{\sqrt{9x^{2}+1}+3x}$。
  3. 化简分母：
    • 因为 $x\to+\infty$，对于 $\sqrt{9x^{2}+1}$，可以提取 $x$，即 $\sqrt{9x^{2}+1}=\sqrt{x^{2}(9 + \frac{1}{x^{2}})}$。
    • 又因为 $x\gt0$，所以 $\sqrt{x^{2}(9 + \frac{1}{x^{2}})}=x\sqrt{9+\frac{1}{x^{2}}}$。
    • 那么分母 $\sqrt{9x^{2}+1}+3x=x\sqrt{9+\frac{1}{x^{2}}}+3x=x(\sqrt{9+\frac{1}{x^{2}}}+3)$。
    • 此时整个表达式为 $\frac{x}{x(\sqrt{9+\frac{1}{x^{2}}}+3)}=\frac{1}{\sqrt{9+\frac{1}{x^{2}}}+3}$。
  4. 取极限：
    • 当 $x \to +\infty$ 时，根据极限的运算法则，$\lim_{x \to +\infty}\frac{1}{x^{2}} = 0$。
    • 所以 $\lim_{x \to +\infty}\sqrt{9+\frac{1}{x^{2}}}=\sqrt{\lim_{x \to +\infty}(9+\frac{1}{x^{2}})}=\sqrt{9 + 0}=3$。
    • 则 $\lim_{x \to +\infty}\frac{1}{\sqrt{9+\frac{1}{x^{2}}}+3}=\frac{1}{3 + 3}=\frac{1}{6}$。