题目
设f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0) =f'(0) =f"(0) =f(1) =0,证明存在ξ∈R使得ξ²f'(ξ)+2f(ξ) =0.
设f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0) =f'(0) =f"(0) =f(1) =0,证明存在ξ∈R使得ξ²f'(ξ)+2f(ξ) =0.
题目解答
答案
证明：
设 F(x) = x²f(x)，则 F'(x) = 2xf(x) + x²f'(x)
因为F(0) = 0，F(1) = 1²f(1) = 0
由罗尔定理，存在 ξ ∈ (0, 1)使得 F'(ξ) = 0
即F'(ξ)=2ξf(ξ) + ξ²f'(ξ) = 0，
即证ξ²f'(ξ) + 2f(ξ) = 0
解析
步骤 1：定义辅助函数
定义辅助函数 \( F(x) = x^2 f(x) \)。这个函数的定义是为了利用已知条件和罗尔定理来证明结论。
步骤 2：计算辅助函数的导数
计算 \( F(x) \) 的导数，得到 \( F'(x) = 2x f(x) + x^2 f'(x) \)。这是通过应用乘积法则得到的。
步骤 3：应用罗尔定理
由于 \( F(0) = 0^2 f(0) = 0 \) 和 \( F(1) = 1^2 f(1) = 0 \)，根据罗尔定理，存在 \( \xi \in (0, 1) \) 使得 \( F'(\xi) = 0 \)。这意味着 \( 2\xi f(\xi) + \xi^2 f'(\xi) = 0 \)。
步骤 4：整理得到结论
将 \( F'(\xi) = 0 \) 的结果整理，得到 \( \xi^2 f'(\xi) + 2f(\xi) = 0 \)。这正是需要证明的结论。
定义辅助函数 \( F(x) = x^2 f(x) \)。这个函数的定义是为了利用已知条件和罗尔定理来证明结论。
步骤 2：计算辅助函数的导数
计算 \( F(x) \) 的导数，得到 \( F'(x) = 2x f(x) + x^2 f'(x) \)。这是通过应用乘积法则得到的。
步骤 3：应用罗尔定理
由于 \( F(0) = 0^2 f(0) = 0 \) 和 \( F(1) = 1^2 f(1) = 0 \)，根据罗尔定理，存在 \( \xi \in (0, 1) \) 使得 \( F'(\xi) = 0 \)。这意味着 \( 2\xi f(\xi) + \xi^2 f'(\xi) = 0 \)。
步骤 4：整理得到结论
将 \( F'(\xi) = 0 \) 的结果整理，得到 \( \xi^2 f'(\xi) + 2f(\xi) = 0 \)。这正是需要证明的结论。