求极限 lim _(xarrow +infty )((x+sqrt {1+{x)^2})}^dfrac (1{x)}

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是处理形如“∞的0次方”不定型极限的技巧。关键在于通过变形简化表达式，结合自然对数转换和等价无穷小替换进行求解。

解题核心思路：

1. 识别极限类型：原式为“∞的0次方”型，需转化为指数函数与自然对数结合的形式。
2. 简化底数表达式：利用代数变形或近似展开，将底数转化为更易处理的形式。
3. 自然对数转换：对表达式取自然对数，将指数运算转化为乘法，便于极限计算。
4. 求极限后还原：通过计算对数后的极限，最终取指数得到原极限值。

破题关键点：

• 底数变形：通过共轭乘法或泰勒展开，将底数转化为与$x$相关的简单表达式。
• 等价无穷小替换：当$x \to +\infty$时，$\sqrt{1+x^2} - x \approx \frac{1}{2x}$，简化计算过程。
• 极限性质应用：利用$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$，快速判断极限值。

设原式为$L = \lim _{x\rightarrow +\infty }{(x+\sqrt {1+{x}^{2}})}^{\dfrac {1}{x}}$，步骤如下：

步骤1：取自然对数

对$L$取自然对数：
$\ln L = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} \ln \left( x + \sqrt{1+x^2} \right)$

步骤2：简化底数表达式

利用共轭乘法变形：
$x + \sqrt{1+x^2} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2} - x}$
因此，原式可转化为：
$\ln L = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} \cdot \left( -\ln \left( \sqrt{1+x^2} - x \right) \right)$

步骤3：近似展开

当$x \to +\infty$时，$\sqrt{1+x^2} \approx x + \frac{1}{2x}$，故：
$\sqrt{1+x^2} - x \approx \frac{1}{2x}$
代入得：
$\ln \left( \sqrt{1+x^2} - x \right) \approx \ln \left( \frac{1}{2x} \right) = -\ln(2x) = -\ln 2 - \ln x$

步骤4：计算极限

将近似结果代入$\ln L$：
$\ln L = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln 2 + \ln x}{x}$
由于$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$，故：
$$
\ln L = 0 \quad \Rightarrow \quad L = e^0 = 1

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