题目
22.已知非齐次线性方程组}x_(1)-x_(2)-x_(3)+3x_(4)=1,x_(1)-2x_(2)-4x_(3)+x_(4)=0,2x_(1)-3x_(2)-4x_(3)+4x_(4)=1,x_(1)-3x_(2)-7x_(3)+kx_(4)=k（其中k为常数）有无穷多解，求其通解.
22.已知非齐次线性方程组$\begin{cases}x_{1}-x_{2}-x_{3}+3x_{4}=1,\\x_{1}-2x_{2}-4x_{3}+x_{4}=0,\\2x_{1}-3x_{2}-4x_{3}+4x_{4}=1,\\x_{1}-3x_{2}-7x_{3}+kx_{4}=k\end{cases}$（其中k为常数）有无穷多解，求其通解.
题目解答
答案
为了确定给定的非齐次线性方程组有无穷多解时的通解，我们首先将方程组表示为增广矩阵的形式。方程组为：
\[
\begin{cases}
x_1 - x_2 - x_3 + 3x_4 = 1, \\
x_1 - 2x_2 - 4x_3 + x_4 = 0, \\
2x_1 - 3x_2 - 4x_3 + 4x_4 = 1, \\
x_1 - 3x_2 - 7x_3 + kx_4 = k.
\end{cases}
\]
对应的增广矩阵为：
\[
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -1 & 3 & 1 \\
1 & -2 & -4 & 1 & 0 \\
2 & -3 & -4 & 4 & 1 \\
1 & -3 & -7 & k & k
\end{pmatrix}.
\]
我们将使用行阶梯形化简此矩阵。首先，从第二行减去第一行，从第四行减去第一行，从第三行减去第一行的两倍：
\[
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -1 & 3 & 1 \\
0 & -1 & -3 & -2 & -1 \\
0 & -1 & -2 & -2 & -1 \\
0 & -2 & -6 & k-3 & k-1
\end{pmatrix}.
\]
接下来，从第三行减去第二行，从第四行减去第二行的两倍：
\[
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -1 & 3 & 1 \\
0 & -1 & -3 & -2 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & k+1 & k+1
\end{pmatrix}.
\]
为了使方程组有无穷多解，增广矩阵的秩必须小于未知数的个数。这意味着最后一行必须表示一个恒等式（即，所有条目都为零）。因此，我们需要 $k+1 = 0$ 和 $k+1 = 0$，这给出 $k = -1$。
将 $k = -1$ 代入矩阵，我们得到：
\[
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -1 & 3 & 1 \\
0 & -1 & -3 & -2 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
\]
这个矩阵处于行阶梯形。我们可以将对应的方程组写为：
\[
\begin{cases}
x_1 - x_2 - x_3 + 3x_4 = 1, \\
-x_2 - 3x_3 - 2x_4 = -1, \\
x_3 = 0.
\end{cases}
\]
将 $x_3 = 0$ 代入前两个方程，我们得到：
\[
\begin{cases}
x_1 - x_2 + 3x_4 = 1, \\
-x_2 - 2x_4 = -1.
\end{cases}
\]
从第二个方程，我们可以解出 $x_2$：
\[
x_2 = 1 - 2x_4.
\]
将 $x_2 = 1 - 2x_4$ 代入第一个方程，我们得到：
\[
x_1 - (1 - 2x_4) + 3x_4 = 1 \implies x_1 - 1 + 5x_4 = 1 \implies x_1 = 2 - 5x_4.
\]
因此，方程组的通解为：
\[
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 - 5x_4 \\
1 - 2x_4 \\
0 \\
x_4
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix} + x_4 \begin{pmatrix}
-5 \\
-2 \\
0 \\
1
\end{pmatrix},
\]
其中 $x_4$ 是一个自由变量。因此，通解为：
\[
\boxed{\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix} + c \begin{pmatrix}
-5 \\
-2 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}},
\]
其中 $c$ 是任意常数。
解析
考查要点：本题主要考查非齐次线性方程组有无穷多解的条件及通解的求解方法。
解题思路：
- 确定参数k的值：通过将增广矩阵化为行阶梯形，分析最后一行方程是否为恒等式，从而确定k的取值。
- 求解通解：在k确定后，将方程组简化为阶梯形，通过自由变量表示通解。
关键点：
- 秩的条件：方程组有无穷多解的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相等且小于未知数个数。
- 自由变量的选取：将非主元对应的变量作为自由变量，用其表示其他变量。
将方程组写成增广矩阵形式：
$\begin{pmatrix}1 & -1 & -1 & 3 & 1 \\1 & -2 & -4 & 1 & 0 \\2 & -3 & -4 & 4 & 1 \\1 & -3 & -7 & k & k\end{pmatrix}$
行变换过程：
-
消去第一列：
- 第二行减第一行：$R2 \leftarrow R2 - R1$
- 第三行减2倍第一行：$R3 \leftarrow R3 - 2R1$
- 第四行减第一行：$R4 \leftarrow R4 - R1$
得到：
$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & -3 & -2 & -1 \\ 0 & -1 & -2 & -2 & -1 \\ 0 & -2 & -6 & k-3 & k-1 \end{pmatrix}$
-
消去第二列：
- 第三行减第二行：$R3 \leftarrow R3 - R2$
- 第四行减2倍第二行：$R4 \leftarrow R4 - 2R2$
得到：
$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & -3 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & k+1 & k+1 \end{pmatrix}$
-
分析最后一行：
最后一行方程为 $(k+1)x_4 = k+1$。- 若 $k+1 \neq 0$，方程矛盾，无解。
- 若 $k+1 = 0$，方程变为 $0=0$，成立。
因此，$k = -1$。
求解通解：
将 $k=-1$ 代入矩阵，化简后为：
$\begin{pmatrix}1 & -1 & -1 & 3 & 1 \\0 & -1 & -3 & -2 & -1 \\0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
对应方程组：
$\begin{cases}x_1 - x_2 - x_3 + 3x_4 = 1, \\-x_2 - 3x_3 - 2x_4 = -1, \\x_3 = 0.\end{cases}$
代入求解：
- 由 $x_3 = 0$，代入第二方程得：
$x_2 = 1 - 2x_4.$ - 代入第一方程得：
$x_1 = 2 - 5x_4.$ - $x_4$ 为自由变量，设为 $c$，通解为：
$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} -5 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.$