1.若方阵A_(ntimes n)不可逆，则A的列向量组中____A. 必有一个向量为零向量.B. 必有二个向量对应分量成比例.C. 必有一个向量是其余向量的线性组合.D. 任意一个向量是其余向量的线性组合.

考查要点：本题主要考查矩阵不可逆时其列向量组的线性相关性质，以及如何从选项中识别正确的结论。

解题核心思路：
矩阵不可逆 $\Rightarrow$ 其行列式为零 $\Rightarrow$ 列向量组线性相关。线性相关的核心特征是至少存在一个向量可以被其余向量线性表示。需结合选项分析，排除错误选项。

破题关键点：

• 线性相关性的定义：存在不全为零的系数，使得向量的线性组合为零。
• 选项辨析：选项C直接对应线性相关性的结论，而其他选项（如存在零向量、成比例等）并非必然成立。

矩阵$A_{n \times n}$不可逆 $\Rightarrow$ $A$的列向量组线性相关。根据线性相关性定义，存在不全为零的标量$k_1, k_2, \dots, k_n$，使得：
$k_1 \boldsymbol{a}_1 + k_2 \boldsymbol{a}_2 + \cdots + k_n \boldsymbol{a}_n = \boldsymbol{0}.$
假设$k_j \neq 0$，则可将$\boldsymbol{a}_j$表示为其他向量的线性组合：
$\boldsymbol{a}_j = -\frac{k_1}{k_j} \boldsymbol{a}_1 - \cdots - \frac{k_{j-1}}{k_j} \boldsymbol{a}_{j-1} - \frac{k_{j+1}}{k_j} \boldsymbol{a}_{j+1} - \cdots - \frac{k_n}{k_j} \boldsymbol{a}_n.$
因此，必有一个向量是其余向量的线性组合（选项C正确）。

错误选项分析：

• 选项A：列向量中可能存在非零向量，但通过线性组合关系导致相关性（例如$\boldsymbol{a}_3 = \boldsymbol{a}_1 + \boldsymbol{a}_2$）。
• 选项B：两个向量成比例仅是线性相关的一种特殊情况，非必然（例如三维向量$\boldsymbol{a}_1=(1,0,0)$，$\boldsymbol{a}_2=(0,1,0)$，$\boldsymbol{a}_3=(1,1,0)$线性相关但无成比例关系）。
• 选项D：“任意一个向量”被其余向量线性表示的条件过强，仅需存在至少一个即可。