设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(x)≤0，F(x)=dfrac(1)(x-a)int_(a)^x(f(t)dt), 证明：在(a，b)内有F’(x)≤0．

考查要点：本题主要考查导数的计算、积分中值定理的应用，以及利用函数单调性判断导数符号的能力。

解题核心思路：

1. 求导：利用商的导数法则对$F(x)$求导，得到$F'(x)$的表达式。
2. 积分中值定理：将积分$\int_{a}^{x}f(t)dt$转化为$f(\xi)(x-a)$的形式，其中$\xi \in (a,x)$。
3. 单调性分析：通过$f'(x) \leq 0$（即$f(x)$单调递减）得出$f(x) \leq f(\xi)$，从而判断$F'(x)$的符号。

破题关键点：

• 正确应用商的导数法则，注意分子部分的展开。
• 积分中值定理的使用，将积分表达式转化为函数值与区间长度的乘积。
• 利用$f(x)$的单调性，通过$\xi$的位置关系比较$f(x)$与$f(\xi)$的大小。

步骤1：求$F(x)$的导数
根据商的导数法则：
$F'(x) = \frac{(x-a)f(x) - \int_{a}^{x}f(t)dt}{(x-a)^2}$

步骤2：应用积分中值定理
由于$f(x)$在$[a,b]$上连续，对任意$x \in (a,b)$，存在$\xi \in (a,x)$，使得：
$\int_{a}^{x}f(t)dt = f(\xi)(x-a)$

步骤3：代入化简
将积分表达式代入导数公式：
$F'(x) = \frac{(x-a)f(x) - f(\xi)(x-a)}{(x-a)^2} = \frac{f(x) - f(\xi)}{x-a}$

步骤4：分析$f(x)$与$f(\xi)$的大小关系
由$f'(x) \leq 0$知$f(x)$在$(a,b)$内单调递减。由于$\xi \in (a,x)$，即$\xi < x$，故：
$f(\xi) \geq f(x) \quad \Rightarrow \quad f(x) - f(\xi) \leq 0$

步骤5：结论
分子$f(x) - f(\xi) \leq 0$，分母$x-a > 0$，因此：
$F'(x) = \frac{f(x) - f(\xi)}{x-a} \leq 0$