题目
3.6.求正螺旋面-|||-=(ucos v,usin v,bv), neq 0-|||-与圆柱面 ((x-a))^2+(y)^2=(a)^2 的交线的参数方程,并求它的曲率和挠率.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定交线的参数方程
首先，将正螺旋面 $r=(u\cos v,u\sin v,bv)$ 与圆柱面 ${(x-a)}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}$ 的方程联立起来。正螺旋面的参数方程为 $x=u\cos v$，$y=u\sin v$，$z=bv$。圆柱面的方程为 ${(x-a)}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}$。将正螺旋面的参数方程代入圆柱面的方程中，得到 ${(u\cos v-a)}^{2}+{(u\sin v)}^{2}={a}^{2}$。化简得到 $u^{2}-2au\cos v+a^{2}=a^{2}$，即 $u^{2}-2au\cos v=0$。解得 $u=2a\cos v$。因此，交线的参数方程为 $r=(2a\cos^{2}v,2a\cos v\sin v,bv)$。
步骤 2：计算曲率
曲率 $k$ 的计算公式为 $k=\dfrac {|\mathbf{r}'\times \mathbf{r}''|}{|\mathbf{r}'|^{3}}$。首先计算 $\mathbf{r}'$ 和 $\mathbf{r}''$。$\mathbf{r}'=(-4a\cos v\sin v,2a\cos 2v,b)$，$\mathbf{r}''=(-4a\cos 2v,-4a\sin 2v,0)$。计算 $\mathbf{r}'\times \mathbf{r}''$，得到 $(-4ab\sin 2v,4ab\cos 2v,8a^{2}\sin 2v)$。计算 $|\mathbf{r}'\times \mathbf{r}''|$，得到 $4a\sqrt{4a^{2}+b^{2}}$。计算 $|\mathbf{r}'|$，得到 $2a\sqrt{1+\dfrac {b^{2}}{4a^{2}}}$。因此，曲率 $k=\dfrac {4a\sqrt{4a^{2}+b^{2}}}{(2a\sqrt{1+\dfrac {b^{2}}{4a^{2}}})^{3}}=\dfrac {4a}{4a^{2}+b^{2}}$。
步骤 3：计算挠率
挠率 $T$ 的计算公式为 $T=\dfrac {(\mathbf{r}'\times \mathbf{r}'')\cdot \mathbf{r}'''}{|\mathbf{r}'\times \mathbf{r}''|^{2}}$。首先计算 $\mathbf{r}'''$，得到 $(8a\sin 2v,-8a\cos 2v,0)$。计算 $(\mathbf{r}'\times \mathbf{r}'')\cdot \mathbf{r}'''$，得到 $-32a^{2}b\sin^{2}2v-32a^{2}b\cos^{2}2v=-32a^{2}b$。计算 $|\mathbf{r}'\times \mathbf{r}''|^{2}$，得到 $16a^{2}(4a^{2}+b^{2})$。因此，挠率 $T=\dfrac {-32a^{2}b}{16a^{2}(4a^{2}+b^{2})}=\dfrac {-2b}{4a^{2}+b^{2}}$。
首先，将正螺旋面 $r=(u\cos v,u\sin v,bv)$ 与圆柱面 ${(x-a)}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}$ 的方程联立起来。正螺旋面的参数方程为 $x=u\cos v$，$y=u\sin v$，$z=bv$。圆柱面的方程为 ${(x-a)}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}$。将正螺旋面的参数方程代入圆柱面的方程中，得到 ${(u\cos v-a)}^{2}+{(u\sin v)}^{2}={a}^{2}$。化简得到 $u^{2}-2au\cos v+a^{2}=a^{2}$，即 $u^{2}-2au\cos v=0$。解得 $u=2a\cos v$。因此，交线的参数方程为 $r=(2a\cos^{2}v,2a\cos v\sin v,bv)$。
步骤 2：计算曲率
曲率 $k$ 的计算公式为 $k=\dfrac {|\mathbf{r}'\times \mathbf{r}''|}{|\mathbf{r}'|^{3}}$。首先计算 $\mathbf{r}'$ 和 $\mathbf{r}''$。$\mathbf{r}'=(-4a\cos v\sin v,2a\cos 2v,b)$，$\mathbf{r}''=(-4a\cos 2v,-4a\sin 2v,0)$。计算 $\mathbf{r}'\times \mathbf{r}''$，得到 $(-4ab\sin 2v,4ab\cos 2v,8a^{2}\sin 2v)$。计算 $|\mathbf{r}'\times \mathbf{r}''|$，得到 $4a\sqrt{4a^{2}+b^{2}}$。计算 $|\mathbf{r}'|$，得到 $2a\sqrt{1+\dfrac {b^{2}}{4a^{2}}}$。因此，曲率 $k=\dfrac {4a\sqrt{4a^{2}+b^{2}}}{(2a\sqrt{1+\dfrac {b^{2}}{4a^{2}}})^{3}}=\dfrac {4a}{4a^{2}+b^{2}}$。
步骤 3：计算挠率
挠率 $T$ 的计算公式为 $T=\dfrac {(\mathbf{r}'\times \mathbf{r}'')\cdot \mathbf{r}'''}{|\mathbf{r}'\times \mathbf{r}''|^{2}}$。首先计算 $\mathbf{r}'''$，得到 $(8a\sin 2v,-8a\cos 2v,0)$。计算 $(\mathbf{r}'\times \mathbf{r}'')\cdot \mathbf{r}'''$，得到 $-32a^{2}b\sin^{2}2v-32a^{2}b\cos^{2}2v=-32a^{2}b$。计算 $|\mathbf{r}'\times \mathbf{r}''|^{2}$，得到 $16a^{2}(4a^{2}+b^{2})$。因此，挠率 $T=\dfrac {-32a^{2}b}{16a^{2}(4a^{2}+b^{2})}=\dfrac {-2b}{4a^{2}+b^{2}}$。