题目

32、四阶行列式式中含有a_(11)a_(23)的项是-a_(11)a_(23)a_(32)a_(44)和a_(11)a_(23)a_(34)a_(42)（）。bigcirc正确 bigcirc错误

32、四阶行列式式中含有$a_{11}a_{23}$的项是$-a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}$和$a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}$（）。 $\bigcirc$正确 $\bigcirc$错误

题目解答

答案

四阶行列式展开式中，包含 $a_{11}a_{23}$ 的项对应于排列 $(1, 3, \sigma_3, \sigma_4)$，其中 $\sigma_3, \sigma_4$ 为 $2, 4$ 的排列。 - 对于排列 $(1, 3, 2, 4)$，逆序数为 $1$（仅 $3>2$），为奇排列，项为 $-a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}$。 - 对于排列 $(1, 3, 4, 2)$，逆序数为 $2$（$3>2$，$4>2$），为偶排列，项为 $a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}$。 因此，题目所给的两项正确，答案为：$\boxed{\bigcirc}$正确。

解析

考查要点：本题主要考查四阶行列式展开式的项构成规律，涉及排列的逆序数与项符号的确定。

解题核心思路：

  1. 行列式展开项的结构：四阶行列式的每一项是四个元素的乘积，且每个元素来自不同行、不同列。
  2. 符号的确定：根据排列的逆序数奇偶性决定项的符号，偶排列符号为正，奇排列符号为负。
  3. 关键验证点：题目中给出的两个项是否满足列下标排列的唯一性，并通过计算逆序数判断符号是否正确。

项 $-a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}$ 的分析

  • 列下标排列：元素 $a_{11}, a_{23}, a_{32}, a_{44}$ 的列下标依次为 $1, 3, 2, 4$，对应排列 $(1, 3, 2, 4)$。
  • 逆序数计算：
    • $3 > 2$，存在 $1$ 个逆序，总逆序数为 $1$（奇排列）。
  • 符号判断：奇排列符号为负，与题目中的符号 $-$ 一致。

项 $a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}$ 的分析

  • 列下标排列：元素 $a_{11}, a_{23}, a_{34}, a_{42}$ 的列下标依次为 $1, 3, 4, 2$，对应排列 $(1, 3, 4, 2)$。
  • 逆序数计算：
    • $3 > 2$，$4 > 2$，存在 $2$ 个逆序，总逆序数为 $2$（偶排列）。
  • 符号判断：偶排列符号为正，与题目中的符号 $+$ 一致。

结论：题目中给出的两项均符合四阶行列式展开式的结构与符号规则，因此答案为正确。