题目

(2025,1)设矩阵A=}4&2&-3a&3&-4b&5&-7x=0与Ax=0同解，则a-b=____.

(2025,1)设矩阵$A=\begin{bmatrix}4&2&-3\\a&3&-4\\b&5&-7\end{bmatrix}$，若方程组$A^{2}x=0$与$Ax=0$同解，则a-b=____.

题目解答

答案

计算矩阵 $ A $ 的行列式： \[ \det(A) = -a + b - 4. \] 为使 $ A $ 的秩小于 3，需满足 $ \det(A) = 0 $，即： \[ -a + b - 4 = 0 \implies a - b = -4. \] 当 $ a - b = -4 $ 时，$ A $ 的秩为 2，且 $ A^2 $ 的秩也为 2，满足方程组同解条件。 **答案：** $\boxed{-4}$

解析

考查要点：本题主要考查矩阵方程组同解的条件，涉及矩阵的秩、行列式以及矩阵乘法的应用。

解题核心思路：

  1. 方程组同解的条件：若齐次方程组$Ax=0$与$A^2x=0$同解，则它们的解空间维度相同，即$A$与$A^2$的秩必须相等。
  2. 秩与行列式的关系：若矩阵$A$的秩为$2$，则其行列式必为$0$，且存在一个$2 \times 2$的子式非零。
  3. 关键推导：通过计算$\det(A)$并令其为$0$，可得到$a$与$b$的关系式，从而求出$a - b$的值。

步骤1：计算矩阵$A$的行列式
矩阵$A$为：
$A = \begin{bmatrix}4 & 2 & -3 \\ a & 3 & -4 \\ b & 5 & -7\end{bmatrix}$
按第一行展开行列式：
$\begin{aligned}\det(A) &= 4 \cdot \begin{vmatrix}3 & -4 \\ 5 & -7\end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix}a & -4 \\ b & -7\end{vmatrix} + (-3) \cdot \begin{vmatrix}a & 3 \\ b & 5\end{vmatrix} \\ &= 4 \cdot (3 \cdot (-7) - (-4) \cdot 5) - 2 \cdot (a \cdot (-7) - (-4) \cdot b) - 3 \cdot (a \cdot 5 - 3 \cdot b) \\ &= 4 \cdot (-21 + 20) - 2 \cdot (-7a + 4b) - 3 \cdot (5a - 3b) \\ &= 4 \cdot (-1) + 14a - 8b - 15a + 9b \\ &= -4 - a + b. \end{aligned}$

步骤2：令行列式为$0$，求$a - b$
为使$A$的秩小于$3$，需满足$\det(A) = 0$：
$-a + b - 4 = 0 \implies a - b = -4.$

步骤3：验证秩的条件
当$a - b = -4$时，矩阵$A$的秩为$2$，此时$A^2$的秩也为$2$，满足方程组同解的条件。