题目
设随机变量X服从参数为1的指数分布，则P(X≥2)=____
设随机变量X服从参数为1的指数分布，则P{X≥2}=____
题目解答
答案
要解决这个问题，我们需要使用指数分布的性质。指数分布的概率密度函数（pdf）由以下公式给出：
\[ f(x; \lambda) = \lambda e^{-\lambda x} \]
对于 $ x \geq 0 $，其中 $ \lambda $ 是分布的参数。在这个问题中，参数 $ \lambda $ 是1，所以概率密度函数变为：
\[ f(x) = e^{-x} \]
对于 $ x \geq 0 $。
我们被要求找到概率 $ P(X \geq 2) $。指数分布的累积分布函数（cdf）由以下公式给出：
\[ F(x; \lambda) = 1 - e^{-\lambda x} \]
对于 $ x \geq 0 $。因此，概率 $ P(X \geq 2) $ 可以表示为：
\[ P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - F(2) \]
将 $ \lambda = 1 $ 和 $ x = 2 $ 代入cdf公式，我们得到：
\[ F(2) = 1 - e^{-2} \]
所以，
\[ P(X \geq 2) = 1 - (1 - e^{-2}) = e^{-2} \]
$ e^{-2} $ 的值大约为0.1353，但既然要求的是确切答案，我们写为：
\[ P(X \geq 2) = e^{-1 \cdot 2} = e^{-2} \]
因此，答案是：
\[ \boxed{e^{-2}} \]
解析
本题考查指数分布的概率计算。解题思路是先明确指数分布的概率密度函数和累积累积分布函数，然后根据要求计算$P\{X\geq2\}$。
- 指数分布的概率密度函数为$f(x; \lambda) = \lambda e^{-\lambda x}$，其中$\lambda$是分布的参数，$x \geq 0$。在本题中，参数$\lambda = 1$，所以概率密度函数变为$f(x) = e^{-x}$，$x \geq 0$。2. 指数分布的累积分布函数为$F(x; \lambda) = 1 - e^{-\lambda x}$，$x \geq 0$。3. 我们要求$P\{X\geq2\}$，根据概率的性质$P\{X\geq2\} = 1 - P\{X < 2\}$，而$P\{X < 2\}$可以用累积分布函数表示为$F(2)$。所以$P\{X\geq2\} = 1 - F(2)$。4. 将$\lambda = 1$和$x = 2$代入累积分布函数公式，得到$F(2) = = 1 - e^{-2}$。5. 所以$P\{X\geq2\} = 1 - (1 - e^{-2}) = e^{-2}$。