题目
8.一质点具有恒定加速度 =6i+4j, 在 t=0 时,其速度为零,位置矢量 _(0)=10i, 求:-|||-(1)任意时刻质点的速度和位置矢量;(2)质点的轨道方程。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定速度矢量
由于加速度是恒定的，我们可以使用加速度的定义来确定速度矢量。加速度是速度对时间的导数，因此速度是加速度对时间的积分。给定的加速度为 $a=6i+4j$，且在 $t=0$ 时速度为零，因此速度矢量 $v$ 可以表示为：
$$v = \int a dt = \int (6i+4j) dt = 6ti + 4tj + C$$
其中 $C$ 是积分常数。由于在 $t=0$ 时速度为零，所以 $C=0$。因此，速度矢量为：
$$v = 6ti + 4tj$$
步骤 2：确定位置矢量
位置矢量是速度矢量对时间的积分。给定的初始位置矢量为 ${r}_{0}=10i$，因此位置矢量 $r$ 可以表示为：
$$r = \int v dt = \int (6ti + 4tj) dt = 3t^2i + 2t^2j + D$$
其中 $D$ 是积分常数。由于在 $t=0$ 时位置矢量为 ${r}_{0}=10i$，所以 $D=10i$。因此，位置矢量为：
$$r = (10 + 3t^2)i + 2t^2j$$
步骤 3：确定轨道方程
轨道方程是位置矢量的分量之间的关系。从位置矢量 $r = (10 + 3t^2)i + 2t^2j$ 中，我们可以得到 $x$ 和 $y$ 分量：
$$x = 10 + 3t^2$$
$$y = 2t^2$$
消去时间 $t$，得到轨道方程：
$$y = \frac{2}{3}(x - 10)$$
由于加速度是恒定的，我们可以使用加速度的定义来确定速度矢量。加速度是速度对时间的导数，因此速度是加速度对时间的积分。给定的加速度为 $a=6i+4j$，且在 $t=0$ 时速度为零，因此速度矢量 $v$ 可以表示为：
$$v = \int a dt = \int (6i+4j) dt = 6ti + 4tj + C$$
其中 $C$ 是积分常数。由于在 $t=0$ 时速度为零，所以 $C=0$。因此，速度矢量为：
$$v = 6ti + 4tj$$
步骤 2：确定位置矢量
位置矢量是速度矢量对时间的积分。给定的初始位置矢量为 ${r}_{0}=10i$，因此位置矢量 $r$ 可以表示为：
$$r = \int v dt = \int (6ti + 4tj) dt = 3t^2i + 2t^2j + D$$
其中 $D$ 是积分常数。由于在 $t=0$ 时位置矢量为 ${r}_{0}=10i$，所以 $D=10i$。因此，位置矢量为：
$$r = (10 + 3t^2)i + 2t^2j$$
步骤 3：确定轨道方程
轨道方程是位置矢量的分量之间的关系。从位置矢量 $r = (10 + 3t^2)i + 2t^2j$ 中，我们可以得到 $x$ 和 $y$ 分量：
$$x = 10 + 3t^2$$
$$y = 2t^2$$
消去时间 $t$，得到轨道方程：
$$y = \frac{2}{3}(x - 10)$$