8.函数f(x)=(x)/(1+x^2)在(-∞,+∞)内是（ ）. (A.)有界函数 (B.)单调函数 (C.)周期函数 (D.)偶函数

为了确定函数 $f(x) = \frac{x}{1 + x^2}$ 的性质，我们需要分析它的有界性、单调性、周期性和奇偶性。下面我们将逐一进行分析。

1. 有界性

要判断函数 $f(x)$ 是否有界，我们需要找到一个常数 $M$，使得对于所有 $x \in (-\infty, +\infty)$，都有 $|f(x)| \leq M$。

首先，考虑 $f(x)$ 的表达式：
$f(x) = \frac{x}{1 + x^2}$

对于 $x \geq 0$，我们有：
$f(x) = \frac{x}{1 + x^2} \leq \frac{x}{x^2} = \frac{1}{x} \leq \frac{1}{2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}}} = \frac{1}{2}$
（其中，等号成立当 $x = 1$ 时）

对于 $x < 0$，我们有：
$f(x) = \frac{x}{1 + x^2} \geq \frac{x}{x^2} = \frac{1}{x} \geq -\frac{1}{2\sqrt{(-x) \cdot \frac{1}{-x}}} = -\frac{1}{2}$
（其中，等号成立当 $x = -1$ 时）

因此，对于所有 $x \in (-\infty, +\infty)$，都有 $|f(x)| \leq \frac{1}{2}$。所以，函数 $f(x)$ 是有界的。

2. 单调性

要判断函数 $f(x)$ 是否单调，我们需要分析它的导数 $f'(x)$ 的符号。

首先，计算 $f(x)$ 的导数：
$f'(x) = \frac{(1 + x^2) \cdot 1 - x \cdot 2x}{(1 + x^2)^2} = \frac{1 + x^2 - 2x^2}{(1 + x^2)^2} = \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2}$

导数 $f'(x)$ 的符号取决于 $1 - x^2$ 的符号：

• 当 $|x| < 1$ 时， $1 - x^2 > 0$， $f'(x) > 0$，函数 $f(x)$ 单调递增。
• 当 $|x| > 1$ 时， $1 - x^2 < 0$， $f'(x) < 0$，函数 $f(x)$ 单调递减。
• 当 $|x| = 1$ 时， $1 - x^2 = 0$， $f'(x) = 0$，函数 $f(x)$ 有极值。

因此，函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内不是单调函数。

3. 周期性

要判断函数 $f(x)$ 是否周期函数，我们需要找到一个正数 $T$，使得对于所有 $x \in (-\infty, +\infty)$，都有 $f(x + T) = f(x)$。

考虑 $f(x + T)$：
$f(x + T) = \frac{x + T}{1 + (x + T)^2}$

对于任意正数 $T$， $f(x + T) \neq f(x)$。因此，函数 $f(x)$ 不是周期函数。

4. 奇偶性

要判断函数 $f(x)$ 是否是偶函数，我们需要检查 $f(-x)$ 是否等于 $f(x)$。

考虑 $f(-x)$：
$f(-x) = \frac{-x}{1 + (-x)^2} = \frac{-x}{1 + x^2} = -f(x)$

因此，函数 $f(x)$ 是奇函数，而不是偶函数。

结论

根据以上分析，函数 $f(x) = \frac{x}{1 + x^2}$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内是 (A) 有界函数。

所以，答案是 $\boxed{A}$。