题目
二、填空题（共6题，30.0分）12.（填空题，5.0分）设z=e^xy，则.(partial z)/(partial x)|_((1,0))=
二、填空题（共6题，30.0分）
12.（填空题，5.0分）
设$z=e^{xy}$，则$\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,0)}=$
题目解答
答案
对函数 $z = e^{xy}$ 关于 $x$ 求偏导，得：
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = y e^{xy}
\]
将点 $(1,0)$ 代入偏导数：
\[
\left. \frac{\partial z}{\partial x} \right|_{(1,0)} = 0 \cdot e^{1 \cdot 0} = 0
\]
或者，将 $y = 0$ 代入原函数得常数 $z = 1$，其对 $x$ 的导数为0。
**答案：** $\boxed{0}$
解析
考查要点：本题主要考查多元函数的偏导数计算，特别是对指数函数求偏导的应用。
解题核心思路：
- 明确偏导数的定义：对变量$x$求偏导时，将其他变量（如$y$）视为常数。
- 应用链式法则：对复合函数$e^{xy}$求导时，外层导数为$e^{xy}$，内层导数为$y$。
- 代入点的坐标：将$x=1$，$y=0$代入偏导数表达式，注意简化计算。
破题关键点：
- 正确识别函数结构：$z = e^{xy}$是典型的指数函数，其导数形式与原函数相关。
- 注意变量替换：当$y=0$时，原函数退化为常数，此时对$x$的导数为0，可作为验证方法。
对函数$z = e^{xy}$关于$x$求偏导：
- 外层导数：$e^{xy}$的导数仍为$e^{xy}$。
- 内层导数：对$xy$关于$x$求导，结果为$y$（因$y$为常数）。
- 链式法则结合：$\frac{\partial z}{\partial x} = e^{xy} \cdot y = y e^{xy}$。
代入点$(1,0)$：
- $y = 0$，因此$\left. \frac{\partial z}{\partial x} \right|_{(1,0)} = 0 \cdot e^{1 \cdot 0} = 0$。
验证方法：
将$y=0$代入原函数，得$z = e^{x \cdot 0} = 1$（常数），其对$x$的导数显然为0。