题目
假设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周 5 个工作日里无故障,可获利润 10 万元；发生一次故障仍可获得利润 5 万元；发生两次故障所获利润 0 元；发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元.求一周内期望利润是多少?
假设一部机器在一天内发生故障的
概率为 0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周 5 个工作日里无故障,可获利润 10 万元；
发生一次故障仍可获得利润 5 万元；发生两次故障所获利润 0 元；发生三次或三次以上故障
就要亏损 2 万元.求一周内期望利润是多少?
题目解答
答案
解析
解析
步骤 1：定义随机变量
设X为一周5个工作日内发生故障的天数，X服从参数为(5,0.2)的二项分布，即$X \sim B(5, 0.2)$。因此，$P\{ X=k\} = {C}_{5}^{k}{0.2}^{k}\times {0.8}^{5-k}$，其中$k=0,1,2,3,4,5$。
步骤 2：计算各概率
- $P\{ X=0\} = {0.8}^{5} = 0.328$
- $P\{ X=1\} = {C}_{5}^{1}{0.8}^{4}\cdot 0.2 = 0.410$
- $P\{ X=2\} = {C}_{5}^{2}{0.8}^{3}\cdot {0.2}^{2} = 0.205$
- $P\{ X\geqslant 3\} = 1 - P\{ X=0\} - P\{ X=1\} - P\{ X=2\} = 0.057$
步骤 3：定义利润函数
设Y为一周内所获利润，根据题目条件，利润函数为$Y=g(X)=\left \{ \begin{matrix} 10, X=0,\\ 5, X=1,\\ 0, X=2,\\ -2, X\geqslant 3.\end{matrix} \right.$
步骤 4：计算期望利润
$EY = 10 \times P\{ X=0\} + 5 \times P\{ X=1\} + 0 \times P\{ X=2\} - 2 \times P\{ X\geqslant 3\}$
$= 10 \times 0.328 + 5 \times 0.410 + 0 \times 0.205 - 2 \times 0.057$
$= 3.28 + 2.05 - 0.114$
$= 5.216$ (万元)
设X为一周5个工作日内发生故障的天数，X服从参数为(5,0.2)的二项分布，即$X \sim B(5, 0.2)$。因此，$P\{ X=k\} = {C}_{5}^{k}{0.2}^{k}\times {0.8}^{5-k}$，其中$k=0,1,2,3,4,5$。
步骤 2：计算各概率
- $P\{ X=0\} = {0.8}^{5} = 0.328$
- $P\{ X=1\} = {C}_{5}^{1}{0.8}^{4}\cdot 0.2 = 0.410$
- $P\{ X=2\} = {C}_{5}^{2}{0.8}^{3}\cdot {0.2}^{2} = 0.205$
- $P\{ X\geqslant 3\} = 1 - P\{ X=0\} - P\{ X=1\} - P\{ X=2\} = 0.057$
步骤 3：定义利润函数
设Y为一周内所获利润，根据题目条件，利润函数为$Y=g(X)=\left \{ \begin{matrix} 10, X=0,\\ 5, X=1,\\ 0, X=2,\\ -2, X\geqslant 3.\end{matrix} \right.$
步骤 4：计算期望利润
$EY = 10 \times P\{ X=0\} + 5 \times P\{ X=1\} + 0 \times P\{ X=2\} - 2 \times P\{ X\geqslant 3\}$
$= 10 \times 0.328 + 5 \times 0.410 + 0 \times 0.205 - 2 \times 0.057$
$= 3.28 + 2.05 - 0.114$
$= 5.216$ (万元)