将n个小球随机放到 (nleqslant N) 个盒子中-|||-去,不限定盒子的容量,则每个盒子中至多有-|||-1个球的概率是 () .-|||-A. dfrac (n!)(N!) B. dfrac (n!)({N)^n} C. dfrac ({C)_(N)^ncdot n!}({N)^n} D. dfrac (n)(N)

考查要点：本题主要考查排列组合的基本原理以及概率计算，需要明确区分可区分小球与不可区分小球的放置方式差异。

解题核心思路：

1. 总事件数：每个小球有$N$个盒子可选，总共有$N^n$种放法。
2. 有利事件数：要求每个盒子至多一个球，等价于从$N$个盒子中选出$n$个盒子，并将小球放入其中，对应组合数$C_N^n$乘以排列数$n!$。
3. 概率计算：有利事件数除以总事件数。

破题关键点：

• 明确小球是可区分的，因此放置方式需考虑排列。
• 正确应用组合与排列的关系，即$C_N^n \cdot n! = P_N^n$（排列数）。

总事件数：
每个小球有$N$个盒子可选，且放置方式独立，因此总事件数为：
$N \times N \times \cdots \times N = N^n.$

有利事件数：
要求每个盒子至多一个球，需分两步计算：

1. 选择$n$个盒子：从$N$个盒子中选出$n$个，有$C_N^n$种选法。
2. 排列小球：将$n$个小球放入这$n$个盒子中，每个盒子一个球，有$n!$种排列方式。
   因此，有利事件数为：
   $C_N^n \cdot n!.$

概率计算：
所求概率为有利事件数与总事件数的比值：
$\frac{C_N^n \cdot n!}{N^n}.$