题目
下列关于线性方程组的解的存在性的描述正确的是 ( ) a秩 R ( A ) = n 则 n 元 齐次线性方程组 Ax = 0 有无穷多解b秩 R ( A ) < n 则 n 元 齐次线性方程组 Ax = 0 有唯一解c秩 R ( A ) ne R ( A , b ) 则 n 元 非齐次线性方程组 Ax = b 无解d秩 R ( A ) = R ( A , b ) 则 n 元 非齐次线性方程组 Ax = b 必有无限解
下列关于线性方程组的解的存在性的描述正确的是 ( ) a秩 R ( A ) = n 则 n 元 齐次线性方程组 Ax = 0 有无穷多解b秩 R ( A ) < n 则 n 元 齐次线性方程组 Ax = 0 有唯一解c秩 R ( A ) \ne R ( A , b ) 则 n 元 非齐次线性方程组 Ax = b 无解d秩 R ( A ) = R ( A , b ) 则 n 元 非齐次线性方程组 Ax = b 必有无限解
题目解答
答案
在解线性方程组时，矩阵的秩和方程组的解的关系是关键。 1.对于一个n元线性方程组，有以下性质 - 对于齐次线性方程组（即形式为 Ax=0 的方程组）， 如果矩阵 A 的秩小于 u （秩 R(A)
解析
步骤 1：理解线性方程组的解的存在性
线性方程组的解的存在性与系数矩阵 A 的秩和增广矩阵 (A, b) 的秩有关。对于齐次线性方程组 Ax = 0，如果系数矩阵 A 的秩等于 n，则方程组只有零解；如果系数矩阵 A 的秩小于 n，则方程组有无穷多解。对于非齐次线性方程组 Ax = b，如果系数矩阵 A 的秩等于增广矩阵 (A, b) 的秩，则方程组有解；如果系数矩阵 A 的秩不等于增广矩阵 (A, b) 的秩，则方程组无解。
步骤 2：分析选项
a. 秩 R(A) = n 则 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有无穷多解。这个描述是错误的，因为如果秩 R(A) = n，则方程组只有零解。
b. 秩 R(A) < n 则 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有唯一解。这个描述是错误的，因为如果秩 R(A) < n，则方程组有无穷多解。
c. 秩 R(A) ≠ R(A, b) 则 n 元非齐次线性方程组 Ax = b 无解。这个描述是正确的，因为如果系数矩阵 A 的秩不等于增广矩阵 (A, b) 的秩，则方程组无解。
d. 秩 R(A) = R(A, b) 则 n 元非齐次线性方程组 Ax = b 必有无限解。这个描述是错误的，因为如果系数矩阵 A 的秩等于增广矩阵 (A, b) 的秩，则方程组有解，但不一定有无限解，可能有唯一解或无穷多解。
线性方程组的解的存在性与系数矩阵 A 的秩和增广矩阵 (A, b) 的秩有关。对于齐次线性方程组 Ax = 0，如果系数矩阵 A 的秩等于 n，则方程组只有零解；如果系数矩阵 A 的秩小于 n，则方程组有无穷多解。对于非齐次线性方程组 Ax = b，如果系数矩阵 A 的秩等于增广矩阵 (A, b) 的秩，则方程组有解；如果系数矩阵 A 的秩不等于增广矩阵 (A, b) 的秩，则方程组无解。
步骤 2：分析选项
a. 秩 R(A) = n 则 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有无穷多解。这个描述是错误的，因为如果秩 R(A) = n，则方程组只有零解。
b. 秩 R(A) < n 则 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有唯一解。这个描述是错误的，因为如果秩 R(A) < n，则方程组有无穷多解。
c. 秩 R(A) ≠ R(A, b) 则 n 元非齐次线性方程组 Ax = b 无解。这个描述是正确的，因为如果系数矩阵 A 的秩不等于增广矩阵 (A, b) 的秩，则方程组无解。
d. 秩 R(A) = R(A, b) 则 n 元非齐次线性方程组 Ax = b 必有无限解。这个描述是错误的，因为如果系数矩阵 A 的秩等于增广矩阵 (A, b) 的秩，则方程组有解，但不一定有无限解，可能有唯一解或无穷多解。