题目
1.计算下列定积分:-|||-(11) (int )_(-1)^1dfrac (xdx)(sqrt {5-4x)}
题目解答
答案
解析
步骤 1：换元法
令 $u = \sqrt{5 - 4x}$，则 $x = \frac{5 - u^2}{4}$，$dx = -\frac{u}{2}du$。
步骤 2：代入换元
将 $x$ 和 $dx$ 代入原积分，得到 ${\int }_{3}^{1}\dfrac{\frac{5 - u^2}{4}}{u} \cdot -\frac{u}{2}du = {\int }_{3}^{1}\dfrac{u^2 - 5}{8}du$。
步骤 3：计算积分
计算积分 ${\int }_{3}^{1}\dfrac{u^2 - 5}{8}du = \left[\dfrac{u^3}{24} - \dfrac{5u}{8}\right]_{3}^{1} = \left(\dfrac{1}{24} - \dfrac{5}{8}\right) - \left(\dfrac{27}{24} - \dfrac{15}{8}\right) = \dfrac{1}{6}$。
令 $u = \sqrt{5 - 4x}$，则 $x = \frac{5 - u^2}{4}$，$dx = -\frac{u}{2}du$。
步骤 2：代入换元
将 $x$ 和 $dx$ 代入原积分，得到 ${\int }_{3}^{1}\dfrac{\frac{5 - u^2}{4}}{u} \cdot -\frac{u}{2}du = {\int }_{3}^{1}\dfrac{u^2 - 5}{8}du$。
步骤 3：计算积分
计算积分 ${\int }_{3}^{1}\dfrac{u^2 - 5}{8}du = \left[\dfrac{u^3}{24} - \dfrac{5u}{8}\right]_{3}^{1} = \left(\dfrac{1}{24} - \dfrac{5}{8}\right) - \left(\dfrac{27}{24} - \dfrac{15}{8}\right) = \dfrac{1}{6}$。