设((sin )^2x)=dfrac (x)(sin x)，求((sin )^2x)=dfrac (x)(sin x) .

考查要点：本题主要考查函数的定义与积分计算的结合应用，涉及函数变量替换、分部积分法等知识点。

解题核心思路：

1. 确定函数$f(x)$的表达式：通过变量替换，将已知条件$f(\sin^2 x) = \dfrac{x}{\sin x}$转化为关于$x$的函数表达式。
2. 代入积分式：将求得的$f(x)$代入原积分式，化简被积函数。
3. 分部积分法求解：通过合理选择分部积分中的$u$和$dv$，将复杂积分转化为简单积分。

破题关键点：

• 变量替换：令$u = \sin^2 x$，建立$x$与$u$的关系，从而表达$f(u)$。
• 分部积分的选择：选择$u = \arcsin \sqrt{x}$和$dv = \dfrac{dx}{\sqrt{1-x}}$，简化积分过程。

步骤1：求$f(x)$的表达式

令$u = \sin^2 x$，则$\sin x = \sqrt{u}$，且$x = \arcsin \sqrt{u}$。代入已知条件：
$f(u) = \dfrac{x}{\sin x} = \dfrac{\arcsin \sqrt{u}}{\sqrt{u}}.$
因此，$f(x) = \dfrac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$。

步骤2：代入积分式并化简

原积分式为：
$\int \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}} f(x) \, dx.$
将$f(x)$代入后，$\sqrt{x}$约分，得：
$\int \dfrac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{1-x}} \, dx.$

步骤3：分部积分法求解

设$u = \arcsin \sqrt{x}$，则$du = \dfrac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1-x}} \, dx$；设$dv = \dfrac{dx}{\sqrt{1-x}}$，则$v = -2\sqrt{1-x}$。根据分部积分公式：
$\begin{aligned}\int u \, dv &= uv - \int v \, du \\&= -2\sqrt{1-x} \cdot \arcsin \sqrt{x} + \int 2\sqrt{1-x} \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1-x}} \, dx \\&= -2\sqrt{1-x} \arcsin \sqrt{x} + \int \dfrac{1}{\sqrt{x}} \, dx.\end{aligned}$
计算右侧积分：
$\int \dfrac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 2\sqrt{x} + C.$
综上，原积分结果为：
$-2\sqrt{1-x} \arcsin \sqrt{x} + 2\sqrt{x} + C.$