题目
9.简答题9.X表示随机在1~4的4个整数中取出一个整数，Y表示在1~X中随机取出一个整数，求(X，Y)的联合分布律及边缘分布律.
9.简答题
9.X表示随机在1~4的4个整数中取出一个整数，Y表示在1~X中随机取出一个整数，求(X，Y)的联合分布律及边缘分布律.
题目解答
答案
**联合分布律：**
| | $Y=1$ | $Y=2$ | $Y=3$ | $Y=4$ |
|---|---|---|---|---|
| $X=1$ | $\frac{1}{4}$ | $0$ | $0$ | $0$ |
| $X=2$ | $\frac{1}{8}$ | $\frac{1}{8}$ | $0$ | $0$ |
| $X=3$ | $\frac{1}{12}$ | $\frac{1}{12}$ | $\frac{1}{12}$ | $0$ |
| $X=4$ | $\frac{1}{16}$ | $\frac{1}{16}$ | $\frac{1}{16}$ | $\frac{1}{16}$ |
**边缘分布律：**
- $P(X = x) = \frac{1}{4}$，$x = 1, 2, 3, 4$
- $P(Y = y) = \begin{cases} \frac{25}{48} & y = 1 \\ \frac{13}{48} & y = 2 \\ \frac{7}{48} & y = 3 \\ \frac{1}{16} & y = 4 \end{cases}$
\[
\boxed{
\begin{array}{c|cccc}
& Y=1 & Y=2 & Y=3 & Y=4 \\
\hline
X=1 & \frac{1}{4} & 0 & 0 & 0 \\
X=2 & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} & 0 & 0 \\
X=3 & \frac{1}{12} & \frac{1}{12} & \frac{1}{12} & 0 \\
X=4 & \frac{1}{16} & \frac{1}{16} & \frac{1}{16} & \frac{1}{16} \\
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：确定联合分布律
- 首先，X的取值范围是1到4，每个整数被取到的概率是$\frac{1}{4}$。
- 对于每个X的取值，Y的取值范围是1到X，每个整数被取到的概率是$\frac{1}{X}$。
- 因此，联合分布律$P(X=x, Y=y)$可以表示为$P(X=x) \times P(Y=y|X=x)$，其中$P(X=x) = \frac{1}{4}$，$P(Y=y|X=x) = \frac{1}{x}$，当$1 \leq y \leq x$时，否则为0。
步骤 2：计算联合分布律
- 当$X=1$时，$Y$只能取1，因此$P(X=1, Y=1) = \frac{1}{4} \times 1 = \frac{1}{4}$。
- 当$X=2$时，$Y$可以取1或2，因此$P(X=2, Y=1) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$，$P(X=2, Y=2) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$。
- 当$X=3$时，$Y$可以取1、2或3，因此$P(X=3, Y=1) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$，$P(X=3, Y=2) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$，$P(X=3, Y=3) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$。
- 当$X=4$时，$Y$可以取1、2、3或4，因此$P(X=4, Y=1) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$，$P(X=4, Y=2) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$，$P(X=4, Y=3) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$，$P(X=4, Y=4) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$。
步骤 3：计算边缘分布律
- 对于$X$的边缘分布律，由于$X$的取值范围是1到4，每个整数被取到的概率是$\frac{1}{4}$，因此$P(X=x) = \frac{1}{4}$，$x = 1, 2, 3, 4$。
- 对于$Y$的边缘分布律，需要对每个$Y$的取值范围内的$X$的联合分布律进行求和。例如，$P(Y=1) = P(X=1, Y=1) + P(X=2, Y=1) + P(X=3, Y=1) + P(X=4, Y=1) = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{12} + \frac{1}{16} = \frac{25}{48}$。类似地，可以计算出$P(Y=2) = \frac{13}{48}$，$P(Y=3) = \frac{7}{48}$，$P(Y=4) = \frac{1}{16}$。
- 首先，X的取值范围是1到4，每个整数被取到的概率是$\frac{1}{4}$。
- 对于每个X的取值，Y的取值范围是1到X，每个整数被取到的概率是$\frac{1}{X}$。
- 因此，联合分布律$P(X=x, Y=y)$可以表示为$P(X=x) \times P(Y=y|X=x)$，其中$P(X=x) = \frac{1}{4}$，$P(Y=y|X=x) = \frac{1}{x}$，当$1 \leq y \leq x$时，否则为0。
步骤 2：计算联合分布律
- 当$X=1$时，$Y$只能取1，因此$P(X=1, Y=1) = \frac{1}{4} \times 1 = \frac{1}{4}$。
- 当$X=2$时，$Y$可以取1或2，因此$P(X=2, Y=1) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$，$P(X=2, Y=2) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$。
- 当$X=3$时，$Y$可以取1、2或3，因此$P(X=3, Y=1) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$，$P(X=3, Y=2) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$，$P(X=3, Y=3) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$。
- 当$X=4$时，$Y$可以取1、2、3或4，因此$P(X=4, Y=1) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$，$P(X=4, Y=2) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$，$P(X=4, Y=3) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$，$P(X=4, Y=4) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$。
步骤 3：计算边缘分布律
- 对于$X$的边缘分布律，由于$X$的取值范围是1到4，每个整数被取到的概率是$\frac{1}{4}$，因此$P(X=x) = \frac{1}{4}$，$x = 1, 2, 3, 4$。
- 对于$Y$的边缘分布律，需要对每个$Y$的取值范围内的$X$的联合分布律进行求和。例如，$P(Y=1) = P(X=1, Y=1) + P(X=2, Y=1) + P(X=3, Y=1) + P(X=4, Y=1) = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{12} + \frac{1}{16} = \frac{25}{48}$。类似地，可以计算出$P(Y=2) = \frac{13}{48}$，$P(Y=3) = \frac{7}{48}$，$P(Y=4) = \frac{1}{16}$。