题目
.计算下列积分:-|||-(12)f(x)dx,其中 f(x)= {x)^2,xgt 1 .
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区间
根据题目，积分区间为 [0, 2]，而函数 f(x) 在 x=1 处定义不同，因此需要将积分区间分为两部分：[0, 1] 和 [1, 2]。
步骤 2：计算第一部分积分
在区间 [0, 1] 上，f(x) = x + 1，因此需要计算 ${\int }_{0}^{1}(x+1)dx$。
${\int }_{0}^{1}(x+1)dx = {[\dfrac{x^2}{2} + x]}_{0}^{1} = (\dfrac{1^2}{2} + 1) - (\dfrac{0^2}{2} + 0) = \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{3}{2}$。
步骤 3：计算第二部分积分
在区间 [1, 2] 上，f(x) = $\dfrac{1}{2}x^2$，因此需要计算 ${\int }_{1}^{2}\dfrac{1}{2}x^2dx$。
${\int }_{1}^{2}\dfrac{1}{2}x^2dx = {[\dfrac{x^3}{6}]}_{1}^{2} = (\dfrac{2^3}{6}) - (\dfrac{1^3}{6}) = \dfrac{8}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{7}{6}$。
步骤 4：将两部分积分结果相加
将步骤 2 和步骤 3 的结果相加，得到最终的积分结果。
$\dfrac{3}{2} + \dfrac{7}{6} = \dfrac{9}{6} + \dfrac{7}{6} = \dfrac{16}{6} = \dfrac{8}{3}$。
根据题目，积分区间为 [0, 2]，而函数 f(x) 在 x=1 处定义不同，因此需要将积分区间分为两部分：[0, 1] 和 [1, 2]。
步骤 2：计算第一部分积分
在区间 [0, 1] 上，f(x) = x + 1，因此需要计算 ${\int }_{0}^{1}(x+1)dx$。
${\int }_{0}^{1}(x+1)dx = {[\dfrac{x^2}{2} + x]}_{0}^{1} = (\dfrac{1^2}{2} + 1) - (\dfrac{0^2}{2} + 0) = \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{3}{2}$。
步骤 3：计算第二部分积分
在区间 [1, 2] 上，f(x) = $\dfrac{1}{2}x^2$，因此需要计算 ${\int }_{1}^{2}\dfrac{1}{2}x^2dx$。
${\int }_{1}^{2}\dfrac{1}{2}x^2dx = {[\dfrac{x^3}{6}]}_{1}^{2} = (\dfrac{2^3}{6}) - (\dfrac{1^3}{6}) = \dfrac{8}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{7}{6}$。
步骤 4：将两部分积分结果相加
将步骤 2 和步骤 3 的结果相加，得到最终的积分结果。
$\dfrac{3}{2} + \dfrac{7}{6} = \dfrac{9}{6} + \dfrac{7}{6} = \dfrac{16}{6} = \dfrac{8}{3}$。