题目
24.设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)=}1,|y|<10, others试求:(1)求f(x,y)的边缘概率密度f_(x)(x),f_(y)(y)函数;(2)判断X与Y是否独立?(3)求E(X),E(Y),E(XY),D(X),D(Y);(4)求Cov(X,Y),ρ_(XY).
24.设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为
$f(x,y)=\begin{cases}1,|y|<1\\0, others\end{cases}$
试求:(1)求f(x,y)的边缘概率密度$f_{x}(x),f_{y}(y)$函数;
(2)判断X与Y是否独立?
(3)求E(X),E(Y),E(XY),D(X),D(Y);
(4)求Cov(X,Y),$ρ_{XY}$.
题目解答
答案
(1) 边缘密度：
$f_X(x) = \begin{cases} 2x, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$，
$f_Y(y) = \begin{cases} 1 - |y|, & -1 < y < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$。
(2) $X$ 和 $Y$ 不独立（$f(x, y) \neq f_X(x)f_Y(y)$）。
(3) 期望和方差：
$E(X) = \frac{2}{3}$，$E(Y) = 0$，$E(XY) = 0$，
$D(X) = \frac{1}{18}$，$D(Y) = \frac{1}{6}$。
(4) 协方差和相关系数：
$Cov(X, Y) = 0$，$\rho_{XY} = 0$。
$$
\boxed{
\begin{array}{ccccc}
\text{(1) } f_X(x) = \begin{cases} 2x, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}, & f_Y(y) = \begin{cases} 1 - |y|, & -1 < y < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \\
\text{(2) } \text{不独立} \\
\text{(3) } E(X) = \frac{2}{3}, & E(Y) = 0, & E(XY) = 0, & D(X) = \frac{1}{18}, & D(Y) = \frac{1}{6} \\
\text{(4) } Cov(X, Y) = 0, & \rho_{XY} = 0
\end{array}
}
$$