题目
13.9 一无限长均匀带电圆柱,体电荷密度为ρ,截面半径为a。-|||-(1)用高斯定律求出柱内外电场强度分布;-|||-(2)求出柱内外的电势分布,以轴线为势能零点;-|||-(3)画出 -r 和 φ-r 的函数曲线。
题目解答
答案
解析
步骤 1：柱内电场强度分布
根据高斯定律，选取一个与圆柱同轴的圆柱形高斯面，其半径为r，长度为L，且r步骤 2：柱外电场强度分布
选取一个与圆柱同轴的圆柱形高斯面，其半径为r，长度为L，且r>a。高斯面上的电场强度E与高斯面垂直，因此高斯面上的电通量为$E \cdot 2\pi r L$。高斯面内的电荷量为$\rho \cdot \pi a^2 L$。根据高斯定律，有$E \cdot 2\pi r L = \frac{\rho \cdot \pi a^2 L}{\varepsilon_0}$，解得$E = \frac{\rho a^2}{2\varepsilon_0 r}$。
步骤 3：柱内电势分布
选取轴线为势能零点，柱内电势分布为$\varphi = -\int_{0}^{r} E dr = -\int_{0}^{r} \frac{\rho r}{2\varepsilon_0} dr = -\frac{\rho r^2}{4\varepsilon_0}$。
步骤 4：柱外电势分布
选取轴线为势能零点，柱外电势分布为$\varphi = -\int_{a}^{r} E dr = -\int_{a}^{r} \frac{\rho a^2}{2\varepsilon_0 r} dr = -\frac{\rho a^2}{2\varepsilon_0} \ln \frac{r}{a}$。
步骤 5：画出 E-r 和 $\varphi -r$ 的函数曲线
根据步骤1-4的计算结果，可以画出E-r和$\varphi -r$的函数曲线。
根据高斯定律，选取一个与圆柱同轴的圆柱形高斯面，其半径为r，长度为L，且r
选取一个与圆柱同轴的圆柱形高斯面，其半径为r，长度为L，且r>a。高斯面上的电场强度E与高斯面垂直，因此高斯面上的电通量为$E \cdot 2\pi r L$。高斯面内的电荷量为$\rho \cdot \pi a^2 L$。根据高斯定律，有$E \cdot 2\pi r L = \frac{\rho \cdot \pi a^2 L}{\varepsilon_0}$，解得$E = \frac{\rho a^2}{2\varepsilon_0 r}$。
步骤 3：柱内电势分布
选取轴线为势能零点，柱内电势分布为$\varphi = -\int_{0}^{r} E dr = -\int_{0}^{r} \frac{\rho r}{2\varepsilon_0} dr = -\frac{\rho r^2}{4\varepsilon_0}$。
步骤 4：柱外电势分布
选取轴线为势能零点，柱外电势分布为$\varphi = -\int_{a}^{r} E dr = -\int_{a}^{r} \frac{\rho a^2}{2\varepsilon_0 r} dr = -\frac{\rho a^2}{2\varepsilon_0} \ln \frac{r}{a}$。
步骤 5：画出 E-r 和 $\varphi -r$ 的函数曲线
根据步骤1-4的计算结果，可以画出E-r和$\varphi -r$的函数曲线。