题目

如图所示，有一圆盘状发光体，其半径为5cm，放置在一焦距为10cm、半径为15cm的凸透镜前，圆盘与凸透镜的距离为20cm，透镜后放置一半径大小可调的圆形光阑和一个接收圆盘像的光屏。图中所有光学元件相对于光轴对称放置。请在几何光学近轴范围内考虑下列问题，并忽略像差和衍射效应。 个-|||-圆盘-|||-凸透镜 光阑 光屏 （1）未放置圆形光阑时，给出圆盘像的位置、大小、形状。 （2）若将圆形光阑放置于凸透镜后方6cm处，当圆形光阑的半径逐渐减小时，圆盘的像会有什么变化？是否存在某一光阑半径长ra，会使得此时圆盘像的半径变为（1）中圆盘像的半径的一半？若存在ra，请给出ra的数值。 （3）若将圆形光阑移至凸透镜后方18cm处，回答（2）中的问题； （4）圆形光阑放置在哪些位置时，圆盘像的大小将与圆形光阑的半径有关？ （5）若将图中的圆形光阑移至凸透镜前方6cm处，回答（2）中的问题。

如图所示，有一圆盘状发光体，其半径为5cm，放置在一焦距为10cm、半径为15cm的凸透镜前，圆盘与凸透镜的距离为20cm，透镜后放置一半径大小可调的圆形光阑和一个接收圆盘像的光屏。图中所有光学元件相对于光轴对称放置。请在几何光学近轴范围内考虑下列问题，并忽略像差和衍射效应。

（1）未放置圆形光阑时，给出圆盘像的位置、大小、形状。

（2）若将圆形光阑放置于凸透镜后方6cm处，当圆形光阑的半径逐渐减小时，圆盘的像会有什么变化？是否存在某一光阑半径长ra，会使得此时圆盘像的半径变为（1）中圆盘像的半径的一半？若存在ra，请给出ra的数值。

（3）若将圆形光阑移至凸透镜后方18cm处，回答（2）中的问题；

（4）圆形光阑放置在哪些位置时，圆盘像的大小将与圆形光阑的半径有关？

（5）若将图中的圆形光阑移至凸透镜前方6cm处，回答（2）中的问题。

题目解答

答案

（1）设圆盘像到薄凸透镜的距离为v， 由题意知：u=20cm，f=10cm，代入透镜成像公式 1v + 1u = 1f ，得像距为v=20cm。其横向放大率为β=- vu =-1，可知圆盘像在凸透镜右边20cm，半径为5cm，为圆盘状，圆盘与其像大小一样；

（2）如下图所示，连接A、B两点，连线AB与光轴交点为C点，由两个相似三角形△AOC与△BB′C的关系可求得C点距离透镜为15cm。若将圆形光阑放置于凸透镜后方6cm处，此时圆形光阑在C点左侧。当圆形光阑半径逐渐减小时，均应有光线能通过圆形光阑在B点成像，因而圆盘像的形状及大小不变，而亮度变暗。此时不存在圆形光阑半径ra使得圆盘像大小的半径变为（1）中圆盘像大小的半径的一半；


（3）若将圆形光阑移至凸透镜后方18cm处，此时圆形光阑在C点（距离透镜为15cm）的右侧，由下图所示，

此时有：CB′=BB′=5cm，R′B′=2cm，
利用两个相似三角形△CRR′与△CBB′的关系，得r=RR′= CR'CB ×BB′= 5−25 ×5cm=3cm。
可见当圆盘半径3cm（光阑边缘与AB相交）时，圆盘刚好能成完整像，但其亮度变暗。
若进一步减少光阑半径，圆盘像就会减小，当透镜上任何一点发出的光都无法透过光阑照在原先像的一半高度处时，圆盘像的半径就会减小为一半，如下图所示。

此时光阑边缘与AE相交，AE与光轴的交点为D，由几何关系算得D与像的轴上距离为 207 cm。此时有DR′= 67 cm，DE′= 720 cm，EE′=2.5cm，利用两个相似三角形△DRR′与△DEE′的关系，得ra=0.75cm，可见当圆形光阑半径ra=0.75cm，圆盘像大小的半径的确变为（1）中圆盘像大小的半径的一半。

（4）只要圆形光阑放在C点（距离透镜为15cm）和光屏之间，圆盘像的大小便与圆形光阑半径有关。
（5）若将图中的圆形光阑移至凸透镜前方6cm处，则当圆形光阑半径逐渐减小时，圆盘像的形状及大小不变，亮度变暗；同时不存在圆形光阑半径使得圆盘像大小的半径变为（1）中圆盘像大小的半径的一半。

解析

考查要点：本题综合考查凸透镜成像规律、光阑对成像的影响及几何光学分析能力。
解题核心：

  1. 透镜成像公式：利用 $\frac{1}{f} = \frac{1}{u} + \frac{1}{v}$ 计算像距，结合放大率 $\beta = -\frac{v}{u}$ 确定像的性质。
  2. 光阑作用分析：光阑位置决定是否截断成像光线，需通过几何关系判断光阑半径与像尺寸的关系。
  3. 临界条件判断：当光阑边缘与成像光线相切时，像的大小开始变化，需通过相似三角形建立比例关系。

第（1）题

关键步骤：

  1. 代入透镜公式：已知物距 $u=20\ \text{cm}$，焦距 $f=10\ \text{cm}$，解得像距 $v=20\ \text{cm}$。
  2. 计算放大率：$\beta = -\frac{v}{u} = -1$，像与物等大，形状相同。

第（2）题

关键分析：

  1. 光阑位置：光阑在透镜后方 $6\ \text{cm}$，位于成像光线未收敛区域（C点前）。
  2. 光阑作用：光阑半径减小仅影响亮度，不改变像的大小和形状，因仍有光线通过光阑成像。

第（3）题

关键步骤：

  1. 确定临界位置：光阑在透镜后方 $18\ \text{cm}$，超过C点（$15\ \text{cm}$），需截断部分光线。
  2. 相似三角形计算：通过 $\triangle CRR'$ 与 $\triangle CBB'$ 的比例关系，解得 $r_a = 0.75\ \text{cm}$。

第（4）题

结论：光阑放置在C点（$15\ \text{cm}$）与光屏（$20\ \text{cm}$）之间时，像的大小受光阑半径影响。

第（5）题

关键分析：

  1. 光阑前置影响：光阑在透镜前方，仅改变入射光束宽度，不改变像的几何性质，像大小不变。