5.（5.0分） 5.设二维随机向量(X,Y)~f(x,y)={}cx^2y,x^2leq yleq10,其它.,则c=（）. A. 3 B. 4 C. 21/4 D. 4/21

为了确定常数 $ c $ 的值，我们需要确保概率密度函数 $ f(x, y) $ 在整个定义域上的积分等于1。函数 $ f(x, y) $ 的定义如下： \[ f(x, y) = \begin{cases} cx^2y & \text{如果 } x^2 \leq y \leq 1 \\ 0 & \text{其他情况} \end{cases} \] 首先，我们需要找到 $ f(x, y) $ 的定义域。由于 $ x^2 \leq y \leq 1 $，可以推导出 $ -1 \leq x \leq 1 $（因为 $ x^2 $ 的最大值为1，所以 $ |x| \leq 1 $）。 接下来，我们计算 $ f(x, y) $ 在整个定义域上的二重积分，并将其设为1： \[ \int_{-1}^{1} \int_{x^2}^{1} cx^2y \, dy \, dx = 1 \] 我们先对 $ y $ 进行积分： \[ \int_{x^2}^{1} cx^2y \, dy = cx^2 \int_{x^2}^{1} y \, dy = cx^2 \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{x^2}^{1} = cx^2 \left( \frac{1^2}{2} - \frac{(x^2)^2}{2} \right) = cx^2 \left( \frac{1}{2} - \frac{x^4}{2} \right) = \frac{cx^2}{2} (1 - x^4) = \frac{c}{2} (x^2 - x^6) \] 现在，我们对 $ x $ 进行积分： \[ \int_{-1}^{1} \frac{c}{2} (x^2 - x^6) \, dx = \frac{c}{2} \int_{-1}^{1} (x^2 - x^6) \, dx \] 由于 $ x^2 $ 和 $ x^6 $ 都是偶函数，我们可以将积分范围简化为从0到1，然后乘以2： \[ \frac{c}{2} \int_{-1}^{1} (x^2 - x^6) \, dx = \frac{c}{2} \cdot 2 \int_{0}^{1} (x^2 - x^6) \, dx = c \int_{0}^{1} (x^2 - x^6) \, dx \] 现在，我们计算 $ \int_{0}^{1} (x^2 - x^6) \, dx $： \[ \int_{0}^{1} (x^2 - x^6) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^7}{7} \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1^3}{3} - \frac{1^7}{7} \right) - \left( \frac{0^3}{3} - \frac{0^7}{7} \right) = \frac{1}{3} - \frac{1}{7} = \frac{7}{21} - \frac{3}{21} = \frac{4}{21} \] 因此，我们有： \[ c \cdot \frac{4}{21} = 1 \] 解这个方程，得到： \[ c = \frac{21}{4} \] 所以，常数 $ c $ 的值是 $ \frac{21}{4} $。正确答案是： \[ \boxed{C} \]