题目

4.试应用ε-δ定义证明lim_((x,y)to(0,0))(x^2y)/(x^2)+y^(2)=0.

4.试应用ε-δ定义证明 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}=0.$

题目解答

答案

对于任意给定的 $\epsilon > 0$，取 $\delta = 2\epsilon$。当 $0 < \sqrt{x^2 + y^2} < \delta$ 时，有 \[ \left| \frac{x^2 y}{x^2 + y^2} \right| \leq \frac{|x|}{2} < \frac{\delta}{2} = \epsilon. \] 或者，使用极坐标 $x = r \cos \theta$，$y = r \sin \theta$，则 \[ \frac{x^2 y}{x^2 + y^2} = r \cos^2 \theta \sin \theta, \] 由于 $\left| \cos^2 \theta \sin \theta \right| \leq 1$，取 $\delta = \epsilon$，当 $0 < r < \delta$ 时， \[ \left| r \cos^2 \theta \sin \theta \right| < \delta = \epsilon. \] 因此， \[ \boxed{0} \]

解析

考查要点：本题主要考查二元函数极限的ε-δ定义的应用，以及利用不等式估计或极坐标变换法证明极限存在。

解题核心思路：

  1. 关键思路：通过寻找适当的不等式或变量替换，将分式表达式转化为与$\sqrt{x^2 + y^2}$相关的表达式，从而建立与$\delta$的关系。
  2. 破题关键点：
    • 不等式法：利用均值不等式$x^2 + y^2 \geq 2|x||y|$，将分式简化为与$|x|$相关的表达式。
    • 极坐标法：通过极坐标变换，将分式转化为关于$r$的表达式，直接利用$r$的范围控制分式的大小。

方法一：不等式估计法

步骤1：应用均值不等式

由均值不等式，对任意实数$x, y$，有：
$x^2 + y^2 \geq 2|x||y|.$

步骤2：估计分式绝对值

将分式绝对值表示为：
$\left| \frac{x^2 y}{x^2 + y^2} \right| \leq \frac{|x^2 y|}{2|x||y|} = \frac{|x|}{2}.$

步骤3：关联$\delta$与$\epsilon$

当$0 < \sqrt{x^2 + y^2} < \delta$时，$|x| \leq \sqrt{x^2 + y^2} < \delta$，因此：
$\frac{|x|}{2} < \frac{\delta}{2}.$
取$\delta = 2\epsilon$，则$\frac{\delta}{2} = \epsilon$，从而：
$\left| \frac{x^2 y}{x^2 + y^2} \right| < \epsilon.$

方法二：极坐标变换法

步骤1：变量替换

设$x = r \cos \theta$，$y = r \sin \theta$，其中$r = \sqrt{x^2 + y^2}$，则分式变为：
$\frac{x^2 y}{x^2 + y^2} = \frac{r^2 \cos^2 \theta \cdot r \sin \theta}{r^2} = r \cos^2 \theta \sin \theta.$

步骤2：估计绝对值

由于$|\cos^2 \theta \sin \theta| \leq 1$，故：
$\left| r \cos^2 \theta \sin \theta \right| \leq r.$

步骤3：关联$\delta$与$\epsilon$

取$\delta = \epsilon$，当$0 < r < \delta$时，有：
$\left| r \cos^2 \theta \sin \theta \right| < \delta = \epsilon.$