(4)设随机变量X的概率密度为f(x),则下列函数中是概率密度的是 () .-|||-A.f(2x) B.f^2(x) C. ((x)^2) D. (x)^2f((x)^3)

步骤 1：检查选项A
设 $X$ 的概率密度为 $f(x)$，则 $f(2x)$ 不一定是概率密度。因为概率密度函数需要满足非负性和积分等于1的条件。对于 $f(2x)$，我们有：
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} f(2x) dx = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} f(u) du = \frac{1}{2} \neq 1
$$
因此，$f(2x)$ 不是概率密度。

步骤 2：检查选项B
设 $X$ 的概率密度为 $f(x)$，则 $f^2(x)$ 不一定是概率密度。因为概率密度函数需要满足非负性和积分等于1的条件。对于 $f^2(x)$，我们有：
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} f^2(x) dx \neq 1
$$
因此，$f^2(x)$ 不是概率密度。

步骤 3：检查选项C
设 $X$ 的概率密度为 $f(x)$，则 $2xf(x^2)$ 不一定是概率密度。因为概率密度函数需要满足非负性和积分等于1的条件。对于 $2xf(x^2)$，我们有：
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} 2xf(x^2) dx = 0
$$
因此，$2xf(x^2)$ 不是概率密度。

步骤 4：检查选项D
设 $X$ 的概率密度为 $f(x)$，则 $3x^2f(x^3)$ 是概率密度。因为概率密度函数需要满足非负性和积分等于1的条件。对于 $3x^2f(x^3)$，我们有：
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} 3x^2f(x^3) dx = \int_{-\infty}^{+\infty} f(u) du = 1
$$
因此，$3x^2f(x^3)$ 是概率密度。