设 X, Y 是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为 F_X(z), F_Y(z)，则 Z = max(X, Y) 的分布函数为()。A. F_Z(z)= maxF_X(z), F_Y(z)；B. F_Z(z)= max|F_X(z)|, |F_Y(z)|；C. F_Z(z)= F_X(z)+ F_Y(z)；D. F_Z(z)= F_X(z)F_Y(z)；

考查要点：本题主要考查独立随机变量最大值的分布函数的推导方法，需要理解分布函数的定义及独立事件的概率性质。

解题核心思路：

1. 分布函数定义：$F_Z(z) = P(Z \leq z)$，其中$Z = \max(X, Y)$。
2. 最大值的等价条件：$\max(X, Y) \leq z$当且仅当$X \leq z$且$Y \leq z$。
3. 独立性应用：利用$X$与$Y$独立，将联合概率转化为各自概率的乘积。

破题关键点：

• 正确转化事件关系：将$\max(X, Y) \leq z$转化为两个独立事件的交集。
• 独立事件的乘法公式：独立事件的联合概率等于各自概率的乘积。

步骤1：写出分布函数的定义
$F_Z(z) = P(\max(X, Y) \leq z).$

步骤2：转化事件关系
$\max(X, Y) \leq z$等价于$X \leq z$且$Y \leq z$，因此：
$P(\max(X, Y) \leq z) = P(X \leq z \text{ 且 } Y \leq z).$

步骤3：利用独立性计算概率
由于$X$与$Y$独立，联合概率可分解为：
$P(X \leq z \text{ 且 } Y \leq z) = P(X \leq z) \cdot P(Y \leq z) = F_X(z) \cdot F_Y(z).$

结论：
$F_Z(z) = F_X(z) \cdot F_Y(z).$