题目
设 D_1 是正方形域，D_2 是 D_1 的内切圆，D_3 是 D_1 的外接圆，D_1 的中心点在 (-1,1)，记 I_1 = iint_(D_1) e^2y-x^2-y^2-2x , dx , dy，I_2 = iint_(D_2) e^2y-x^2-y^2-2x , dx , dy，I_3 = iint_(D_3) e^2y-x^2-y^2-2x , dx , dy 则 I_1, I_2, I_3 大小顺序为()。A. I_1 leq I_2 leq I_3B. I_2 leq I_1 leq I_3C. I_3 leq I_2 leq I_1D. I_3 leq I_1 leq I_2
设 $D_1$ 是正方形域，$D_2$ 是 $D_1$ 的内切圆，$D_3$ 是 $D_1$ 的外接圆，$D_1$ 的中心点在 $(-1,1)$，记 $I_1 = \iint_{D_1} e^{2y-x^2-y^2-2x} \, dx \, dy$，$I_2 = \iint_{D_2} e^{2y-x^2-y^2-2x} \, dx \, dy$，$I_3 = \iint_{D_3} e^{2y-x^2-y^2-2x} \, dx \, dy$ 则 $I_1, I_2, I_3$ 大小顺序为()。
A. $I_1 \leq I_2 \leq I_3$
B. $I_2 \leq I_1 \leq I_3$
C. $I_3 \leq I_2 \leq I_1$
D. $I_3 \leq I_1 \leq I_2$
题目解答
答案
B. $I_2 \leq I_1 \leq I_3$
解析
步骤 1：重写被积函数
将被积函数 $e^{2y-x^2-y^2-2x}$ 重写为 $e^2 e^{-(x+1)^2 - (y-1)^2}$，其中 $e^2$ 是常数，$e^{-(x+1)^2 - (y-1)^2}$ 是以 $(-1, 1)$ 为中心的高斯函数。
步骤 2：分析函数值随距离变化
由于高斯函数 $e^{-(x+1)^2 - (y-1)^2}$ 在中心点 $(-1, 1)$ 处取最大值，随着距离中心点增加，函数值减小。
步骤 3：比较积分值
由于 $D_2$（内切圆）$\subset D_1$（正方形）$\subset D_3$（外接圆），且函数值在中心最大，向边缘递减，因此积分值随区域面积增大而增大。所以，$I_2 \le I_1 \le I_3$。
将被积函数 $e^{2y-x^2-y^2-2x}$ 重写为 $e^2 e^{-(x+1)^2 - (y-1)^2}$，其中 $e^2$ 是常数，$e^{-(x+1)^2 - (y-1)^2}$ 是以 $(-1, 1)$ 为中心的高斯函数。
步骤 2：分析函数值随距离变化
由于高斯函数 $e^{-(x+1)^2 - (y-1)^2}$ 在中心点 $(-1, 1)$ 处取最大值，随着距离中心点增加，函数值减小。
步骤 3：比较积分值
由于 $D_2$（内切圆）$\subset D_1$（正方形）$\subset D_3$（外接圆），且函数值在中心最大，向边缘递减，因此积分值随区域面积增大而增大。所以，$I_2 \le I_1 \le I_3$。