题目

14.（4.0分）设α，β，γ为三维列向量，记矩阵A=(alpha,beta,gamma)，且|A|=3。 若B=(alpha+beta,beta+gamma,gamma+alpha)，则|B|=______.

14.（4.0分）设α，β，γ为三维列向量，记矩阵$A=(\alpha,\beta,\gamma)$，且|A|=3。 若$B=(\alpha+\beta,\beta+\gamma,\gamma+\alpha)$，则|B|=______.

题目解答

答案

为了求解矩阵 $ B = (\alpha + \beta, \beta + \gamma, \gamma + \alpha) $ 的行列式，我们首先需要将 $ B $ 用矩阵 $ A = (\alpha, \beta, \gamma) $ 的形式表示出来。 考虑矩阵 $ B $ 的列向量，我们可以写成： \[ B = \begin{pmatrix} \alpha + \beta & \beta + \gamma & \gamma + \alpha \end{pmatrix} \] 这可以表示为 $ A $ 与一个 $ 3 \times 3 $ 矩阵的乘积。具体来说，设 $ C $ 为： \[ C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \] 则有： \[ B = A C \] 根据行列式的性质，对于两个 $ 3 \times 3 $ 矩阵 $ A $ 和 $ C $，它们的乘积的行列式等于它们的行列式的乘积，即： \[ |B| = |A C| = |A| \cdot |C| \] 已知 $ |A| = 3 $，因此我们需要计算 $ |C| $： \[ |C| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} \] 我们使用 cofactor expansion 沿第一行展开 $ |C| $： \[ |C| = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \] 计算 $ 2 \times 2 $ 行列式： \[ \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - 0 \cdot 1 = 1 \] \[ \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - 1 \cdot 0 = 1 \] 代入 $ |C| $ 的表达式： \[ |C| = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 1 + 1 = 2 \] 因此， $ |C| = 2 $。现在，我们可以计算 $ |B| $： \[ |B| = |A| \cdot |C| = 3 \cdot 2 = 6 \] 所以， $ B $ 的行列式为： \[ \boxed{6} \]

解析

本题考查行列式的性质以及矩阵乘法的行列式计算。解题思路是先将矩阵$B$表示为矩阵$A$与另一个矩阵$C$的乘积形式，再根据行列式性质$\vert AC\vert=\vert A\vert\cdot\vert C\vert$，已知$\vert A\vert = 3$，只需计算出$\vert C\vert$的值，最后将两者相乘得到$\vert B\vert$的值。

  1. 设矩阵$C=\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}$，则矩阵$B$可表示为$B = AC$。
  2. 根据行列式性质$\vert B\vert=\vert AC\vert=\vert A\vert\cdot\vert C\vert$，已知$\vert A\vert = 3$，所以需要计算$\vert C\vert$的值。
  3. 计算$\vert C\vert$：
    $\vert C\vert=\begin{vmatrix}1&0&1\\1&1&0\\0&1&1\end{vmatrix}$
    沿第一行展开$\vert C\vert$：
    $\vert C\vert = 1\times\begin{vmatrix}1&0\\1&1\end{vmatrix}-0\times\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}+1\times\begin{vmatrix}1&1\\0&1\end{vmatrix}$
    计算$2\times2$行列式：
    $\begin{vmatrix}1&0\\1&1\end{vmatrix}=1\times1 - 0\times1 = 1$
    $\begin{vmatrix}1&1\\0&1\end{vmatrix}=1\times1 - 1\times0 = 1$
    代入$\vert C\vert$的表达式：
    $\vert C\vert = 1\times1 + 1\times1 = 1 + 1 = 2$
  4. 计算$\vert B\vert$：
    $\vert B\vert=\vert A\vert\cdot\vert C\vert = 3\times2 = 6$