题目
设连续性随机变量X和Y相互独立，且approx N(0,1)，Y的分布律为approx N(0,1)，则approx N(0,1). A.approx N(0,1)B.approx N(0,1)C.approx N(0,1)D.approx N(0,1)
设连续性随机变量X和Y相互独立，且
，Y的分布律为
，则
.
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
表示X服从标准正态分布，则X的分布函数为
，
X与Y相互独立，则
，则
，因此选择D。
解析
步骤 1：理解随机变量X和Y的分布
$X\sim N(0,1)$表示X服从标准正态分布，其概率密度函数为$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$，分布函数为$g(x)=P(X\leqslant x)$。
Y的分布律为P(Y=0)=P(Y=1)=0.5，表示Y是一个离散型随机变量，取值为0和1，且取这两个值的概率相等。
步骤 2：计算$P(X+Y\leqslant 0.5)$
由于X和Y相互独立，所以$P(X+Y\leqslant 0.5)=P(X\leqslant 0.5,Y=0)+P(X\leqslant -0.5,Y=1)$。
根据Y的分布律，$P(Y=0)=P(Y=1)=0.5$，所以$P(X+Y\leqslant 0.5)=P(X\leqslant 0.5)P(Y=0)+P(X\leqslant -0.5)P(Y=1)$。
由于$X\sim N(0,1)$，所以$P(X\leqslant 0.5)=g(0.5)$，$P(X\leqslant -0.5)=g(-0.5)$。
根据标准正态分布的性质，$g(-0.5)=1-g(0.5)$，所以$P(X+Y\leqslant 0.5)=g(0.5)\times 0.5+g(-0.5)\times 0.5=g(0.5)\times 0.5+(1-g(0.5))\times 0.5=0.5$。
$X\sim N(0,1)$表示X服从标准正态分布，其概率密度函数为$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$，分布函数为$g(x)=P(X\leqslant x)$。
Y的分布律为P(Y=0)=P(Y=1)=0.5，表示Y是一个离散型随机变量，取值为0和1，且取这两个值的概率相等。
步骤 2：计算$P(X+Y\leqslant 0.5)$
由于X和Y相互独立，所以$P(X+Y\leqslant 0.5)=P(X\leqslant 0.5,Y=0)+P(X\leqslant -0.5,Y=1)$。
根据Y的分布律，$P(Y=0)=P(Y=1)=0.5$，所以$P(X+Y\leqslant 0.5)=P(X\leqslant 0.5)P(Y=0)+P(X\leqslant -0.5)P(Y=1)$。
由于$X\sim N(0,1)$，所以$P(X\leqslant 0.5)=g(0.5)$，$P(X\leqslant -0.5)=g(-0.5)$。
根据标准正态分布的性质，$g(-0.5)=1-g(0.5)$，所以$P(X+Y\leqslant 0.5)=g(0.5)\times 0.5+g(-0.5)\times 0.5=g(0.5)\times 0.5+(1-g(0.5))\times 0.5=0.5$。