4.当λ=____时，曲线积分int_(L)3x^lambda-1ydx+x^lambdady在整个xoy平面内与路径无关.

为了确定使曲线积分$\int_{L}3x^{\lambda-1}ydx + x^{\lambda}dy$在整个$xy$-平面内与路径无关的$\lambda$值，我们需要检查向量场$\mathbf{F} = (3x^{\lambda-1}y, x^{\lambda})$是否为保守向量场。一个向量场$\mathbf{F} = (P, Q)$是保守的，如果它的旋度为零，即$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$。 这里，$P = 3x^{\lambda-1}y$和$Q = x^{\lambda}$。我们需要计算$\frac{\partial Q}{\partial x}$和$\frac{\partial P}{\partial y}$并使它们相等。 首先，计算$\frac{\partial Q}{\partial x}$： \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^{\lambda}) = \lambda x^{\lambda-1}. \] 接下来，计算$\frac{\partial P}{\partial y}$： \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(3x^{\lambda-1}y) = 3x^{\lambda-1}. \] 为了使向量场保守，我们需要： \[ \lambda x^{\lambda-1} = 3x^{\lambda-1}. \] 假设$x \neq 0$，我们可以两边同时除以$x^{\lambda-1}$： \[ \lambda = 3. \] 因此，使曲线积分与路径无关的$\lambda$值是$\boxed{3}$。