int ( { { { x^4)} over (1 + {x^2)}}} dx =( )A. (1 over 3)(x^3) +x + arctan x + C B. (1 over 3)(x^3) - x - arctan x + C C. -(1 over 3)(x^3) +x + arctan x + C D. (1 over 3)(x^3) - x + arctan x + C

本题考查不定积分的计算，主要思路是通过多项式除法将被积函数化简，再利用基本积分公式求解。

步骤1：化简被积函数

被积函数为 $\frac{x^4}{1+x^2}$，分子次数高于分母，需进行多项式除法：
$x^4 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) + 1$
因此：
$\frac{x^4}{1+x^2} = \frac{(x^2 - 1)(x^2 + 1) + 1}{1+x^2} = x^2 - 1 + \frac{1}{1+x^2}$

步骤2：逐项积分

对化简后的函数逐项积分：
$\int \left( x^2 - 1 + \frac{1}{1+x^2} \right) dx = \int x^2 dx - \int 1 dx + \int \frac{1}{1+x^2} dx$

利用基本积分公式：

• $\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$，则 $\int x^2 dx = \frac{1}{3}x^3 + C$
• $\int 1 dx = x + C$
• $\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C$

步骤3：合并结果

$\int \frac{x^4}{1+x^2} dx = \frac{1}{3}x^3 - x + \arctan x + C$