题目
4.过直线L:(x-1)/(2)=(y+2)/(-3)=(z-2)/(2)且垂直于平面II:3x+2y-z-5=0的平面方程为____。
4.过直线L:$\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-3}=\frac{z-2}{2}$且垂直于平面II:3x+2y-z-5=0的平面方程为____。
题目解答
答案
直线 $ L $ 的方向向量为 $ \mathbf{s} = (2, -3, 2) $，平面 $ \Pi $ 的法向量为 $ \mathbf{n_1} = (3, 2, -1) $。所求平面的法向量 $ \mathbf{n} $ 为 $ \mathbf{s} \times \mathbf{n_1} $：
\[
\mathbf{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -3 & 2 \\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix} = (-1, 8, 13)
\]
过直线 $ L $ 上的点 $ (1, -2, 2) $，平面方程为：
\[
-1(x - 1) + 8(y + 2) + 13(z - 2) = 0 \implies x - 8y - 13z + 9 = 0
\]
或使用平面束方法，得相同结果。
**答案：** $\boxed{x - 8y - 13z + 9 = 0}$
解析
步骤 1：确定直线L的方向向量
直线L的参数方程为$\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-3}=\frac{z-2}{2}$，因此直线L的方向向量为$\mathbf{s}=(2,-3,2)$。
步骤 2：确定平面II的法向量
平面II的方程为$3x+2y-z-5=0$，因此平面II的法向量为$\mathbf{n_1}=(3,2,-1)$。
步骤 3：计算所求平面的法向量
所求平面的法向量$\mathbf{n}$为直线L的方向向量$\mathbf{s}$与平面II的法向量$\mathbf{n_1}$的叉积，即$\mathbf{n}=\mathbf{s} \times \mathbf{n_1}$。
\[
\mathbf{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -3 & 2 \\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix} = (-1, 8, 13)
\]
步骤 4：确定所求平面的方程
所求平面过直线L上的点$(1,-2,2)$，因此所求平面的方程为：
\[
-1(x-1)+8(y+2)+13(z-2)=0
\]
化简得：
\[
x-8y-13z+9=0
\]
直线L的参数方程为$\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-3}=\frac{z-2}{2}$，因此直线L的方向向量为$\mathbf{s}=(2,-3,2)$。
步骤 2：确定平面II的法向量
平面II的方程为$3x+2y-z-5=0$，因此平面II的法向量为$\mathbf{n_1}=(3,2,-1)$。
步骤 3：计算所求平面的法向量
所求平面的法向量$\mathbf{n}$为直线L的方向向量$\mathbf{s}$与平面II的法向量$\mathbf{n_1}$的叉积，即$\mathbf{n}=\mathbf{s} \times \mathbf{n_1}$。
\[
\mathbf{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -3 & 2 \\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix} = (-1, 8, 13)
\]
步骤 4：确定所求平面的方程
所求平面过直线L上的点$(1,-2,2)$，因此所求平面的方程为：
\[
-1(x-1)+8(y+2)+13(z-2)=0
\]
化简得：
\[
x-8y-13z+9=0
\]