[题目]-|||-求函数 =dfrac (3)({x)^2-2x+4} 的拐点与凹凸区间

考查要点：本题主要考查函数拐点及凹凸区间的求解方法，涉及一阶导数、二阶导数的计算，以及利用二阶导数符号变化判断凹凸性及拐点。

解题核心思路：

1. 求二阶导数：通过求导确定函数的凹凸性变化点。
2. 解方程 $y''=0$：找到可能的拐点横坐标。
3. 分析二阶导数符号变化：判断凹凸性是否改变，从而确定拐点。
4. 确定凹凸区间：根据二阶导数的正负划分区间。

破题关键点：

• 正确计算二阶导数，注意分母恒正，只需关注分子符号。
• 验证二阶导数在临界点两侧的符号变化，确认拐点存在性。

求二阶导数

原函数为 $y = \dfrac{3}{x^2 - 2x + 4}$，计算二阶导数：

1. 一阶导数：
   $y' = \dfrac{6 - 6x}{(x^2 - 2x + 4)^2}$
2. 二阶导数（商法则）：
   $y'' = \dfrac{18x(x - 2)}{(x^2 - 2x + 4)^3}$

求解 $y'' = 0$

分子 $18x(x - 2) = 0$，解得 $x = 0$ 或 $x = 2$。

分析二阶导数符号

• 当 $x < 0$：$y'' > 0$，函数上凸。
• 当 $0 < x < 2$：$y'' < 0$，函数下凹。
• 当 $x > 2$：$y'' > 0$，函数上凸。

确定拐点与凹凸区间

• 拐点：$x = 0$ 和 $x = 2$ 处凹凸性改变，对应点为 $(0, \dfrac{3}{4})$ 和 $(2, \dfrac{3}{4})$。
• 凹凸区间：
  • 上凸区间：$(-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$
  • 下凹区间：$(0, 2)$