题目

(10.0分)求方程组}2x_{1)+x_(2)-x_(3)+x_(4)=1x_(1)-x_(2)+x_(3)+x_(4)=27x_(1)+2x_(2)-2x_(3)+4x_(4)=57x_(1)-x_(2)+x_(3)+5x_(4)=8in RA(}x_(1)x_(2)x_(3)x_(4))B(}x_(1)x_(2)x_(3)x_(4))C(}x_(1)x_(2)x_(3)x_(4))

(10.0分)求方程组$\left\{\begin{matrix}2x_{1}+x_{2}-x_{3}+x_{4}=1\\x_{1}-x_{2}+x_{3}+x_{4}=2\\7x_{1}+2x_{2}-2x_{3}+4x_{4}=5\\7x_{1}-x_{2}+x_{3}+5x_{4}=8\end{matrix}\right.$的解为( ),其中$c_{1},c_{2}\in R$ $A\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\\0\\0\end{matrix}\right)+c_{1}\left(\begin{matrix}0\\1\\2\\0\end{matrix}\right)+c_{2}\left(\begin{matrix}1\\1\\0\\1\end{matrix}\right)$ $B\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\\0\\0\end{matrix}\right)+c_{1}\left(\begin{matrix}0\\1\\1\\0\end{matrix}\right)+c_{2}\left(\begin{matrix}-2\\1\\0\\3\end{matrix}\right)$ $C\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\\0\\0\end{matrix}\right)+c_{1}\left(\begin{matrix}0\\-1\\1\\0\end{matrix}\right)+c_{2}\left(\begin{matrix}2\\-1\\0\\3\end{matrix}\right)$

题目解答

答案

为了解方程组 \[ \left\{ \begin{matrix} 2x_{1} + x_{2} - x_{3} + x_{4} = 1 \\ x_{1} - x_{2} + x_{3} + x_{4} = 2 \\ 7x_{1} + 2x_{2} - 2x_{3} + 4x_{4} = 5 \\ 7x_{1} - x_{2} + x_{3} + 5x_{4} = 8 \end{matrix} \right. \] 我们首先将它表示为增广矩阵： \[ \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 2 \\ 7 & 2 & -2 & 4 & 5 \\ 7 & -1 & 1 & 5 & 8 \end{pmatrix} \] 接下来，我们使用行变换将这个矩阵转换为行阶梯形。首先，我们交换第一行和第二行： \[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 & 1 & 1 \\ 7 & 2 & -2 & 4 & 5 \\ 7 & -1 & 1 & 5 & 8 \end{pmatrix} \] 现在，我们通过从第二行减去2倍的第一行，从第三行减去7倍的第一行，从第四行减去7倍的第一行来消除第一列的其他元素： \[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & -3 & -1 & -3 \\ 0 & 9 & -9 & -3 & -9 \\ 0 & 6 & -6 & -2 & -6 \end{pmatrix} \] 接下来，我们将第二行除以3： \[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & -\frac{1}{3} & -1 \\ 0 & 9 & -9 & -3 & -9 \\ 0 & 6 & -6 & -2 & -6 \end{pmatrix} \] 现在，我们通过从第三行减去9倍的第二行，从第四行减去6倍的第二行来消除第二列的其他元素： \[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & -\frac{1}{3} & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] 矩阵现在处于行阶梯形。我们可以通过从第二行加到第一行来进一步简化： \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \frac{2}{3} & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -\frac{1}{3} & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] 这个矩阵告诉我们，方程组等价于： \[ \begin{cases} x_1 + \frac{2}{3}x_4 = 1 \\ x_2 - x_3 - \frac{1}{3}x_4 = -1 \end{cases} \] 我们可以将 $x_1$ 和 $x_2$ 表示为 $x_3$ 和 $x_4$ 的函数： \[ \begin{cases} x_1 = 1 - \frac{2}{3}x_4 \\ x_2 = x_3 + \frac{1}{3}x_4 - 1 \end{cases} \] 设 $x_3 = c_1$ 和 $x_4 = c_2$。那么解为： \[ \begin{cases} x_1 = 1 - \frac{2}{3}c_2 \\ x_2 = c_1 + \frac{1}{3}c_2 - 1 \\ x_3 = c_1 \\ x_4 = c_2 \end{cases} \] 我们可以将这个解写成向量形式： \[ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + c_1 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} -\frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \] 为了匹配给定的选项，我们可以将 $c_2$ 乘以3： \[ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + c_1 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \] 因此，正确答案是： \[ \boxed{B} \]

解析

本题考查线性方程组的求解，解题思路是先将方程组写成增广矩阵的形式，然后通过行变换将增广矩阵化为行最简形矩阵，最后根据行最简形矩阵写出方程组的通解。

  1. 写出增广矩阵：
    对于方程组$\left\{\begin{matrix}2x_{1}+x_{2}-x_{3}+x_{4}=1\\x_{1}-x_{2}+x_{3}+x_{4}=2\\7x_{1}+2x_{2}-2x_{3}+4x_{4}=5\\7x_{1}-x_{2}+x_{3}+5x_{4}=8\end{matrix}\right.$，其增广矩阵为$\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 2 \\ 7 & 2 & -2 & 4 & 5 \\ 7 & -1 & 1 & 5 & 8 \end{pmatrix}$。
  2. 进行行变换化为行阶梯形矩阵：
    • 交换第一行和第二行，得到$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 & 1 & 1 \\ 7 & 2 & -2 & 4 & 5 \\ 7 & -1 & 1 & 5 & 8 \end{pmatrix}$。
    • 第二行减去$2$倍的第一行，第三行减去$7$倍的第一行，第四行减去$7$倍的第一行，得到$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & -3 & -1 & -3 \\ 0 & 9 & -9 & -3 & -9 \\ 0 & 6 & -6 & -2 & -6 \end{pmatrix}$。
    • 第二行除以$3$，得到$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & -\frac{1}{3} & -1 \\ 0 & 9 & -9 & -3 & -9 \\ 0 & 6 & -6 & -2 & -6 \end{pmatrix}$。
    • 第三行减去$9$倍的第二行，第四行减去$6$倍的第二行，得到$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & -\frac{1}{3} & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
  3. 化为行最简形矩阵：
    将第二行加到第一行，得到$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \frac{2}{3} & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -\frac{1}{3} & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
  4. 写出方程组的通解：
    由行最简形矩阵可得方程组$\begin{cases} x_1 + \frac{2}{3}x_4 = 1 \\ x_2 - x_3 - \frac{1}{3}x_4 = -1 \end{cases}$，将$x_1$和$x_2$表示为$x_3$和$x_4$的函数：
    $\begin{cases} x_1 = 1 - \frac{2}{3}x_4 \\ x_2 = x_3 + \frac{1}{3}x_4 - 1 \end{cases}$
    设$x_3 = c_1$和$x_4 = c_2$，则解为$\begin{cases} x_1 = 1 - \frac{2}{3}c_2 \\ x_2 = c_1 + \frac{1}{3}c_2 - 1 \\ x_3 = c_1 \\ x_4 = c_2 \end{cases}$。
    写成向量形式为$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + c_1 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} -\frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$。
    为了匹配给定的选项，将$c_2$乘以$3$，得到$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + c_1 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$。