幂级数 sum_(n=1)^infty (n+1)! x^n 的收敛半径和收敛域为()A. R=0, 收敛域为 0B. R=1, 收敛域为 (-1,1)C. R=1, 收敛域为 [-1,1)D. R=+infty, 收敛域为 (-infty,+infty)

本题考查幂级数收敛半径和收敛域的求解。解题思路是先根据幂级数收敛半径的公式求出收敛半径，再根据收敛半径确定收敛区间，最后判断区间端点处幂级数的敛散性，从而得到收敛域。

步骤一：求收敛半径$R$

对于幂级数$\sum_{n = 1}^{\infty} a_n x^n$，其收敛半径$R$的计算公式为$R=\lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n + 1}}\right|$（当该极限存在时），其中$a_n$是幂级数的系数。
在幂级数$\sum_{n=1}^{\infty} (n+1)! x^n$中，$a_n = (n + 1)!$，$a_{n + 1} = (n + 2)!$。
则$R=\lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n + 1}}\right|=\lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac{(n + 1)!}{(n + 2)!}\right|$。
根据阶乘的运算法则$(n + 2)! = (n + 2) \times (n + 1)!$，对上式进行化简可得：
$R=\lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac{(n + 1)!}{(n + 2) \times (n + 1)!}\right|=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n + 2}$。
当$n \to \infty$时，$n + 2 \to \infty$，所以$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n + 2}=0$，即收敛半径$R = 0$。

步骤二：确定收敛域

当收敛半径$R = 0$时，幂级数仅在$x = 0$处收敛，所以该幂级数的收敛域为$\{0\}$。