题目

2.已知向量组alpha_(1)=(1,3,2,0)^T,alpha_(2)=(7,0,14,3)^T,alpha_(3)=(2,-1,0,1)^T,alpha_(4)=(5,1,6,2)^T,alpha_(5)=(2,-1,4,1)^T,求:(1)该向量组的秩;(2)该向量组的一个极大无关组，并把其余向量用这个极大无关组线性表示.

2.已知向量组$\alpha_{1}=(1,3,2,0)^{T},\alpha_{2}=(7,0,14,3)^{T},\alpha_{3}=(2,-1,0,1)^{T},\alpha_{4}=(5,1,6,2)^{T}$,$\alpha_{5}=(2,-1,4,1)^{T}$,求: (1)该向量组的秩; (2)该向量组的一个极大无关组，并把其余向量用这个极大无关组线性表示.

题目解答

答案

(1) 向量组的秩为 $3$。
(2) 极大无关组为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$，其余向量表示为：
$\alpha_4 = \frac{1}{6}\alpha_1 + \alpha_2 - \frac{1}{2}\alpha_3, \quad \alpha_5 = -\frac{1}{3}\alpha_1 + \frac{1}{3}\alpha_2.$
或者等价表示：
$\alpha_4 = \frac{\alpha_1 + 6\alpha_2 - 3\alpha_3}{6}, \quad \alpha_5 = \frac{-\alpha_1 + \alpha_2}{3}.$

答案：
(1) 秩为 $3$
(2) 极大无关组：$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$，表示式如上。

解析

本题主要考查向量组的秩、极大无关组的求法以及向量用极大无关组线性表示，解题的关键思路是将向量组构成矩阵，通过初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵，进而确定向量组的秩和极大无关组，最后求解线性表示的系数。

  1. 求向量组的秩：
    • 设矩阵\(A = (\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4},\alpha_{5})=\begin{pmatrix} 1 & 7 & 2 & 5 & 2 \\ 3 & 0 & -1 & 1 & -1 \\ 2 & 14 & 0 & 6 & 4 \\ 0 & 3 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\)。
    • 对矩阵$A$进行初等行变换：
      • 第二行减去第一行的$3$倍，第三行减去第一行的$2$倍，得到\(\begin{pmatrix} 1 & 7 & 2 & 5 & 2 \\ 0 & -21 & -7 & -14 & -7 \\ 0 & 0 & -4 & -4 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\)。
      • 第二行除以$-7$，得到\(\begin{pmatrix} 1 & 7 & 2 & 5 & 2 \\ 0 & 3 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -4 & -4 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\)。
      • 第四行减去第二行，得到\(\begin{pmatrix} 1 & 7 & 2 & 5 & 2 \\ 0 & 3 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -4 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)。
    • 行阶梯形矩阵中非零行的行数为$3$，所以向量组的秩$r(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4},\alpha_{5}) = 3$。
  2. 求向量组的一个极大无关组并将其余向量用其线性表示：
    • 由行阶梯形矩阵可知，$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$是一个极大无关组。
    • 设$\alpha_{4}=x_{1}\alpha_{1}+x_{2}\alpha_{2}+x_{3}\alpha_{3}$，即\(\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix}=x_{1}\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+x_{2}\begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 14 \\ 3 \end{pmatrix}+x_{3}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)，得到线性方程组\(\begin{cases} x_{1}+7x_{2}+2x_{3}=5 \\ 3x_{1}-x_{3}=1 \\ 2x_{1}+14x_{2}=6 \\ 3x_{2}+x_{3}=2 \end{cases}\)。
    • 由$3x_{1}-x_{3}=1$可得$x_{3}=3x_{1}-1$，由$2x_{1}+14x_{2}=6$可得$x_{1}+7x_{2}=3$，即$x_{2}=\frac{3 - x_{1}}{7}$。
    • 将$x_{3}=3x_{1}-1$和$x_{2}=\frac{3 - x_{1}}{7}$代入$x_{1}+7x_{2}+2x_{3}=5$中：
      • $x_{1}+7\times\frac{3 - x_{1}}{7}+2\times(3x_{1}-1)=5$。
      • 化简得$x_{1}+3 - x_{1}+6x_{1}-2 = 5$，即$6x_{1}=4$，解得$x_{1}=\frac{1}{6}$。
      • 则$x_{2}=\frac{3-\frac{1}{6}}{7}=\frac{\frac{17}{6}}{7}=\ 1$，$x_{3}=3\times\frac{1}{6}-1=-\frac{1}{2}$。
    • 所以$\alpha_{4}=\frac{1}{6}\alpha_{1}+\alpha_{2}-\frac{1}{2}\alpha_{3}$，也可写成$\alpha_{4}=\frac{\alpha_{1}+6\alpha_{2}-3\alpha_{3}}{6}$。
    • 设$\alpha_{5}=y_{1}\alpha_{1}+y_{2}\alpha_{2}+y_{3}\alpha_{3}$，即\(\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}=y_{1}\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+y_{2}\begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 14 \\ 3 \end{pmatrix}+y_{3}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)，得到线性方程组\(\begin{cases} y_{1}+7y_{2}+2y_{3}=2 \\ 3y_{1}-y_{3}=-1 \\ 2y_{1}+14y_{2}=4 \\ 3y_{2}+y_{3}=1 \end{cases}\)。
    • 由$2y_{1}+14y_{2}=4$可得$y_{1}+7y_{2}=2$，由$3y_{1}-y_{3}=-1$可得$y_{3}=3y_{1}+1$，由$3y_{2}+y_{3}=1$可得$y_{2}=\frac{1 - y_{3}}{3}$。
    • 将$y_{3}=3y_{1}+1$代入$y_{2}=\frac{1 - y_{3}}{3}$得$y_{2}=\frac{1-(3y_{1}+1)}{3}=-y_{1}$。
    • 把$y_{2}=-y_{1}$代入$y_{1}+7y_{2}=2$中：
      • $y_{1}+7\times(-y_{1})=2$，即$-6y_{1}=2$，解得$y_{1}=-\frac{1}{3}$。
      • 则$y_{2}=\frac{1}{3}$，$y_{3}=3\times(-\frac{1}{3})+1 = 0$。
    • 所以$\alpha_{5}=-\frac{1}{3}\alpha_{1}+\frac{1}{3}\alpha_{2}$，也可写成$\alpha_{5}=\frac{-\alpha_{1}+\alpha_{2}}{3}$。