1.9 质点沿x轴运动其加速度和位置的关系为 =2+6(x)^2 ,a的单位为 /(s)^2 ,x的单位为m.质点在-|||-x=0 处,速度为 /s. 试求质点在任何坐标处的速度值.

考查要点：本题主要考查变力作用下质点运动的速度求解，涉及微分方程的建立与求解，以及物理运动学的基本关系式。

解题核心思路：

1. 加速度与速度的关系转换：利用链式法则将加速度$a = \frac{dv}{dt}$转换为关于位置$x$的表达式，即$a = v \frac{dv}{dx}$。
2. 微分方程的分离变量法：将方程整理为$v \, dv = (2 + 6x^2) \, dx$，并对两边积分。
3. 初始条件的应用：通过$x=0$时速度$v=10 \, \text{m/s}$确定积分常数，最终得到速度$v$与位置$x$的关系式。

破题关键点：

• 正确应用链式法则，将时间导数转换为位置导数。
• 积分过程的准确性，注意常数项的处理。
• 初始条件的代入，确保积分常数的正确性。

步骤1：建立微分方程
根据加速度定义和链式法则：
$a = \frac{dv}{dt} = v \frac{dv}{dx}$
题目给出$a = 2 + 6x^2$，代入得：
$v \frac{dv}{dx} = 2 + 6x^2$

步骤2：分离变量并积分
将方程整理为：
$v \, dv = (2 + 6x^2) \, dx$
对两边积分：
$\int v \, dv = \int (2 + 6x^2) \, dx$
左边积分结果为：
$\frac{1}{2}v^2 + C_1$
右边积分结果为：
$2x + 2x^3 + C_2$

步骤3：合并常数并代入初始条件
合并常数项，整理得：
$\frac{1}{2}v^2 = 2x + 2x^3 + C$
代入初始条件$x=0$时$v=10 \, \text{m/s}$：
$\frac{1}{2}(10)^2 = 0 + 0 + C \implies C = 50$
因此方程为：
$\frac{1}{2}v^2 = 2x + 2x^3 + 50$

步骤4：解出速度$v$
两边乘以2并开平方：
$v = \sqrt{4x^3 + 4x + 100}$