题目
设随机变量 X 与 Y 相互独立,且 X sim B(36,(1)/(6)), Y sim B(12,(1)/(3)),则 D(X-Y+1)= ().A. (4)/(3)B. (7)/(3)C. (23)/(3)D. (26)/(3)
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立,且 $X \sim B\left(36,\frac{1}{6}\right)$, $Y \sim B\left(12,\frac{1}{3}\right)$,则 $D(X-Y+1)=$ ().
A. $\frac{4}{3}$
B. $\frac{7}{3}$
C. $\frac{23}{3}$
D. $\frac{26}{3}$
题目解答
答案
C. $\frac{23}{3}$
解析
步骤 1：确定方差性质
对于独立随机变量 $X$ 和 $Y$，方差的性质为 $D(X - Y + 1) = D(X) + D(Y)$。这是因为方差是衡量随机变量离散程度的统计量，对于独立随机变量，它们的方差可以相加。
步骤 2：计算 $X$ 的方差
$X$ 服从二项分布 $B(36, \frac{1}{6})$，其方差计算公式为 $D(X) = n \times p \times (1 - p)$，其中 $n$ 是试验次数，$p$ 是每次试验成功的概率。代入 $n = 36$ 和 $p = \frac{1}{6}$，得到 $D(X) = 36 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = 5$。
步骤 3：计算 $Y$ 的方差
$Y$ 服从二项分布 $B(12, \frac{1}{3})$，其方差计算公式同样为 $D(Y) = n \times p \times (1 - p)$。代入 $n = 12$ 和 $p = \frac{1}{3}$，得到 $D(Y) = 12 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$。
步骤 4：计算 $D(X - Y + 1)$
根据步骤 1 的方差性质，$D(X - Y + 1) = D(X) + D(Y) = 5 + \frac{8}{3} = \frac{15}{3} + \frac{8}{3} = \frac{23}{3}$。
对于独立随机变量 $X$ 和 $Y$，方差的性质为 $D(X - Y + 1) = D(X) + D(Y)$。这是因为方差是衡量随机变量离散程度的统计量，对于独立随机变量，它们的方差可以相加。
步骤 2：计算 $X$ 的方差
$X$ 服从二项分布 $B(36, \frac{1}{6})$，其方差计算公式为 $D(X) = n \times p \times (1 - p)$，其中 $n$ 是试验次数，$p$ 是每次试验成功的概率。代入 $n = 36$ 和 $p = \frac{1}{6}$，得到 $D(X) = 36 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = 5$。
步骤 3：计算 $Y$ 的方差
$Y$ 服从二项分布 $B(12, \frac{1}{3})$，其方差计算公式同样为 $D(Y) = n \times p \times (1 - p)$。代入 $n = 12$ 和 $p = \frac{1}{3}$，得到 $D(Y) = 12 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$。
步骤 4：计算 $D(X - Y + 1)$
根据步骤 1 的方差性质，$D(X - Y + 1) = D(X) + D(Y) = 5 + \frac{8}{3} = \frac{15}{3} + \frac{8}{3} = \frac{23}{3}$。