(8)设Ω是由z²=x²+y²及z=1所围成的闭区域，下列不正确的解法为( ).A. iiintlimits_(Omega)zdv=int_(0)^2pidthetaint_(0)^1rdrint_(r)^1zdzB. iiintlimits_(Omega)zdv=int_(0)^2pidthetaint_(0)^1rdrint_(0)^rzdz;C. iiintlimits_(Omega)zdv=int_(0)^2pidthetaint_(0)^(pi)/(4)dvarphiint_(0)^secvarphir^3cosvarphisinvarphi drD. iiintlimits_(Omega)zdv=int_(0)^1dzint_(0)^2pidthetaint_(0)^zzrdr.

本题考查利用柱坐标和球坐标计算三重积分，以及对积分区域的理解和积分限的确定。解题的关键在于准确分析积分区域$\Omega$的形状，然后根据不同坐标系下的积分公式来判断各个选项的正确性。

选项A

• 确定积分区域：在柱坐标系下，$z^{2}=x^{2}+y^{2}$可化为$z = r$（因为$z\geq0$，在该区域内），$z = 1$不变。积分区域$\Omega$在$xOy$平面上的投影是$x^{2}+y^{2}\leq1$，即$0\leq r\leq1$，$0\leq\theta\leq2\pi$，$z$的范围是从$z = r$到$z = 1$。
• 计算积分：根据柱坐标下三重积分公式$\iiint\limits_{\Omega}f(x,y,z)dv=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{R}rdr\int_{z_1(r)}^{z_2(r)}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)dz$，这里$f(x,y,z)=z$，$R = 1$，$z_1(r)=r$，$z_2(r)=1$，则$\iiint\limits_{\Omega}zdv=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}rdr\int_{r}^{1}zdz$，所以选项A正确。

选项B

• 分析积分限：在该选项中，$z$的积分下限为$0$，上限为$r$，这与积分区域$\Omega$中$z$的实际范围不符，在$\Omega$中$z$是从$r$到$1$，所以该选项错误。

选项C

• 确定积分区域：在球坐标系下，$x = r\sin\varphi\cos\theta$，$y = r\sin\varphi\sin\theta$，$z = r\cos\varphi$，$dv = r^{2}\sin\varphi drd\varphi d\theta$。$z^{2}=x^{2}+y^{2}$可化为$\tan\varphi = 1$，即$\varphi=\frac{\pi}{4}$，$z = 1$可化为$r\cos\varphi = 1$，即$r=\sec\varphi$。$\theta$的范围是$0\leq\theta\leq2\pi$，$\varphi$的范围是$0\leq\varphi\leq\frac{\pi}{4}$，$r$的范围是$0\leq r\leq\sec\varphi$。
• 计算积分：$\iiint\limits_{\Omega}zdv=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}d\varphi\int_{0}^{\sec\varphi}(r\cos\varphi)r^{2}\sin\varphi dr=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}d\varphi\int_{0}^{\sec\varphi}r^{3}\cos\varphi\sin\varphi dr$，所以选项C正确。

选项D

• 分析积分限：在该选项中，$r$的积分上限为$z$，这与积分区域$\Omega$在$xOy$平面上的投影$x^{2}+y^{2}\leq z^{2}$（即$r\leq z$）不符，在$\Omega$中$r$的范围应该是$0\leq r\leq z$，但这里积分顺序和积分限的设置导致积分区域错误，所以该选项错误。